ECUACIONES

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. (TOMADO DE
INTRODUCCIÓN A LAS E. D, AUTOR ROSS)

Las E.D de primer orden se pueden escribir de la siguiente manera:
En forma de derivada:
O en forma diferencial:

= ( , )
( , )

+ ( , )

=0

Ejemplo:
•

(

+
•

Dada la E.D en forma de deriva, exprésela en forma diferencial:

)

− ( − )

( − )

=

=(

+
−

= 0 Formadiferencial

Dada la E.D en forma diferencial, escribirla en forma de derivada:
(sin + )
( +3 )

=−

+( +3 )

= −(sin + )

sin +

+3

Métodos de solución de E.D de primer orden:
•
•
•
•
•

)

+

Separación de Variables
Funciones Homogéneas y E.D. Homogéneas
E.D. Exacta
Factor integrante
Ecuaciones lineales





=0

• Separación de Variables:
Estemétodo s aplica cuando la ecuación diferencial se puede expresar de la forma:
( )

+ ( )

=0

Ó
( )+ ( )

=0

Se puede apreciar que la ecuación anterior esta en forma diferencial y donde:
-

la Función sólo depende de y esta acompañada del diferencial
la Función sólo depende de y esta acompañada del diferencial

La solución de este tipo de E.D se puede resolver integrando cada una delas funciones, así:
( )

+

( )

+ 4)

=

=

Ejemplo:
Hallar la solución de la ecuación diferencial:

( )

Primero se expresa se la forma

(

(

1



1

+ ( )
+ 4)
=

−

(

(

=

= 0 así:

+ 4)
+ 4)



=0

Observe que la ecuación anterior se encuentra en la forma apropiada, ahora aplicamos la
solución, es decir, # ( ) + # ( ) = asi:


1−

(

+ 4)

E integrando se obtiene:
1
ln − ln(
2

+ 4) =

=

Ahora como es una constante podemos expresarla de la siguiente manera: = ln para
facilitar nuestros cálculos:
1
ln − ln(
2
Ahora para despejar

+ 4) = ln

hacemos lo siguiente:
ln

ln

Aplicando la propiedad

Aplicando

la

1
= ln + ln(
2
= ln + ln(

de

logaritmos

ln x = ln x '

propiedad= ln( (

ln

+ 4)
(

+ 4)
+ 4) )

Ahora aplicando euler a cada lado y utilizando la propiedad
,-

=

ln a + ln b = ln(a ∗ b)

(

,- .

5

=

así:

se tiene:

,-(/0 1 2341 )

= (

(

+ 4)

Ó
= 6

+4

La cual es la solución de nuestra E.D.

• Funciones Homogéneas y E.D homogéneas:
Algunas ecuaciones diferenciales que no son separables en x e y, seconvierten en separables tras
un cambio de variables. Este es el caso para las ecuaciones diferenciales de la forma y´= f(x,y),
siempre que f sea una función homogénea.

Funciones homogéneas:
La función dada por 7 = ( , ) es homogénea de grado n si (8 , 8 ) = 8 9 ( , ), donde : es un
número real.
Ejemplo: Comprobar si la función

( , )=

+

es homogénea:

(8 , 8 ) = (8 ) + (8 )

(8 ,8 ) = 8

(8 , 8 ) = 8 (

+8
+

)

Por lo tanto es una función homogénea de grado 2.
Realizar: ( , ) =

+

Ecuaciones Diferenciales homogéneas:
( , ) + ( , ) = 0 es homogénea si las funciones
Una E.D de la forma
( , ) son funciones homogéneas del mismo grado.

( , )y

Para resolver E.D Homogéneas por medio de variables separables hay que realizar un cambio de la
variable deasi:
=
donde es una función diferenciable de x.
Como
=

es diferenciable respecto a
+

;

ó

=

Ejemplo: Resolver la E.D (

+

−

)

es útil realizar su derivada así:

+3

=0

Se puede observar que la E.D no se puede realizar por medio de variables separables de forma
inmediata. Es necesario realizar el cambio de variable mencionado anteriormente así:
1. Se apreciaque la ecuación tiene la forma ( , ) + ( , ) = 0.
2. Se comprueba que las funciones ( , ) y ( , ) sean homogéneas del mismo grado.
( , ) es homogénea:
( , )=
−
(8 , 8 ) = (8 ) − (8 )
(8 , 8 ) = 8
−8
(8 , 8 ) = 8 ( − )
Por lo tanto la función ( , ) es de segundo orden y homogénea.

Comprobemos que

Comprobemos que N( , ) es homogénea:
( , )=3
(8 , 8 ) = 3(8 )(8 )
(8 , 8 ) = 8 3...