ecuaciones

Problema de valor inicial:
Definición:
Un problema de valor inicial de la ecuación diferencial de n-énesimo orden: , consiste en encontrar una solución de dicha ecuación diferencial en unintervalo I, que satisfaga en el punto de I, las n condiciones siguientes:




.
.
.



EJEMPLOS:

1. Demostrar que la función es solución del siguiente problema del valor inicial:


y (0)= -1
y`(0) = 1

i.-) (C0)
donde:


Sustituyendo en (C0)



Por lo tanto la función es solución de la ecuación

ii.-)Por i) y ii) la función es solución del problema de valor inicial dado.


2. Determine si la función es solución de problema del valor inicial:

y (0) = -1y`(0) = 1

i.-)



Por lo tanto es solución de (C0)

ii.-)


Entonces no satisface la condición y(0)=-1.

Por lo tanto no es solucióndel problema de valor inicial dado.



Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden .

TEOREMA DE LA EXISTENCIA Y UNICIDAD.

Dado el problema de valor inicial:
,
donde f y sonfunciones continuas en un rectángulo R= que contiene al punto . Entonces el problema de valor inicial tiene una solución única en algún intervalo donde h>0.

Ejemplo:

Determinar si el problema devalor inicial tiene solución única.

Sea:


i) f es continua en lR2
ii) es continua en lR2
iii) (0,6) lR2

Por lo tanto el problema de valor inicial dado tiene solución única en algúnintervalo (-h,h), h>0.







ECUACIONES SEPARABLES.
Definición:
La ecuación diferencial es separable si y sólo si existen dos funciones g y h tales que


Solución:
y , entonces:(la solución obtenida está dada de manera implícita)

EJEMPLOS:

Determinar la solución general de la ecuación diferencial

Solución:


(Solución implícita)

(Solución explícita)...