ecuaciones

CRECIMIENTO DE UN TUMOR



ECUACIONES DIFERENCIALES


PRESENTADO POR:
CLAUDIA MARCELA CUBILLOS DUARTE -Código 17523
LAURA GUZMAN -Código 17055
ISABEL FLOREZ –Código
ESTEFANIA DIAZ SARMIENTO –Código
TATIANA ANDREA ARIZA CARRANZA - Código 14893.



PRESENTADO A:
ALEXANDER FUENTES




ESCUELA COLOMBIANA DE CARRERAS INDUSTRIALES
BOGOTA, D.C.
INTRODUCCIÓN

Aunque desdetiempos muy remotos al hombre le ha interesado medir y explicar matemáticamente los fenómenos biológicos que ocurren a su alrededor, no fue sino hasta el siglo pasado que se estableció la biología matemática como una rama de las matemáticas, cuyo principal es describir procesos bilógicos por medio de herramienticas matemáticas.
Las Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, explica que una vezresueltas las ecuaciones "podemos saber cómo va a ir evolucionando el tumor de forma muy aproximada y así predecir situaciones futuras de crecimientos de tumores.
El objetivo de este enfoque es, a continuación, investigar con técnicas propias de la teoría de control, que conduzcan a situaciones tan favorables como sea posible el crecimiento de un tumor. Los modelos estudiados se basan enecuaciones de derivadas parciales no lineales cuya resolución numérica se lleva a cabo aplicando métodos de elementos finitos.
Al igual que para muchas otras aplicaciones, al menos en teoría, este punto de vista puede hacer considerablemente menos costosos los procesos de experimentación. Así se pueden confirmar los resultados de las experiencias médicas con una menor cantidad de prácticas delaboratorio. “Las herramientas matemáticas se convierten de este modo en un complemento a la experimentación real y una importante ayuda para describir y comprender situaciones reales”.
Aunque la evolución de un sistema cancerígeno está limitada y condicionada a parámetros químicos y biológicos, su diseminación a través de los tejidos y órganos contaminados obedece a diversas reglas deterministas oestocásticas, las cuales se pueden modelar utilizando herramientas matemáticas y condicionamientos físicos (1). La producción de tumores cancerosos o tumorgénesis ha sido estudiada desde principios del siglo XX por matemáticos interesados en aplicaciones biológicas (2). Se plantean diversos modelos que utilizan ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), ecuaciones diferenciales parciales (EDP),modelos estocásticos discretos, estadísticos y de análisis numérico.





MODELOS MATEMÁTICOS
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): este modelo supone una población de células cancerosas con igual potencial de crecimiento. Se aplica a problemas de estabilidad y permanencia de sistemas donde se tiene una población biológica compitiendo por recursos. La EDO describe la competición entreorganismos como un cambio en la función de saturación. El número de células en un tiempo t depende de la tasa de crecimiento y está asociado con la capacidad de transporte, que es el tamaño máximo de la población que se puede alcanzar, definida por el nutriente suplido y las restricciones espaciales.
La solución a esta ecuación es la curva sigmoidal. Una aplicación de este modelo fue introducidopor Manfred Eigen en 1971 como un camino para modelar la evolución dinámica de moléculas únicas de ARN en experimentos de laboratorio, conocido como el modelo de las cuasiespecies. Luego se extendió este modelo al tratamiento y evolución de virus, bacterias y modelos simples del sistema inmune (2). El modelo de Eigen supone una población heterogénea de células i que compiten entre sí y rodean lascélulas saludables en busca de nutrientes, oxigeno y espacio. En este modelo el número total de células del sistema se supone constante y se permite el desencadenamiento de mutaciones que generan divisiones celulares a una razón determinada para cada tipo de célula, es decir, una célula de tipo i solo puede mutar en una del tipo i+1 (5).
Ecuaciones diferenciales parciales: este método es una...