Ecuaciones

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO SIMPLE.
Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. 

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.
Recuerda:
Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.
Si un número multiplica a todos loselementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divide pasa multiplicando.
Resuelve la ecuación 

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y UNA INCÓGNITA
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (ovarios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación    x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadastambién ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
                                 ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.
 Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0,  donde  a,  y  b  son los coeficientes de los términos  x2  y  x, respectivamente y  c es el término independiente.
 
Ecuación de segundo grado completa 
  
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los trescoeficientes  a,  b,  y  c  son distintos de cero.
Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es 
 ax2 + bx + c = 0.
 
Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos  b  o  c,  o ambos, son cero.
(Si a = 0, la ecuación resultante sería  bx + c = 0,  que no es una ecuación de segundo grado.)
La expresión de unaecuación de segundo grado incompleta es:
ax2 = 0;   si    b = 0    y    c = 0.
ax2 + bx = 0;    si    c = 0.
ax2 + c = 0;    si    b = 0.
 
Algunos ejemplos, con soluciones
1) Resolver: − 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5;  b = 13;  c = 6.
Se aplica la fórmula:

Comola raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.
Llamaremos X1 y X2  a las dos soluciones, que serán:

 

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores halladossatisfacen la ecuación se le denomina verficación.
Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro. 
Probando con ,  se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y  son las raíces de − 5x2 + 13x + 6 = 0

2.- Resolver: 6x − x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga laforma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:
− x2 + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:
a = −1 ;  b = 6 ;  c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante (Δ)  es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3.
Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la...