Ecuaciones

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Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.
Una ecuación de segundo grado [1] [2] o ecuación cuadrática, es aquella en la cual la mayorpotencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación cuadrática es

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La ecuación cuadrática proporciona las intersecciones de la parábola conel eje de las abscisas, que pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.
Contenido [ocultar]  * 1 Historia * 2 Fórmula cuadrática * 3 Discriminante * 4 Ecuación bicuadrática * 5 Clasificación * 5.1 Deducción para resolver la ecuación de la forma * 5.2 Teorema de Cardano-Viète * 6 Solución mediante cambio de variable * 7 Otros procedimientos de solución * 7.1 Soluciónpor descomposición de factores * 8 Véase también * 9 Notas y referencias * 10 Enlaces externos |
[editar] Historia
El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla.
En Europa: a) en Grecia las desarrolló el matemático Diofanto de Alejandría; b) el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liberembadorum, introdujo la solución de estas ecuaciones.
[editar] Fórmula cuadrática
De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática[3] a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:
,
donde el símbolo ± indica que losvalores
| y | |
constituyen las dos soluciones.
[editar] Discriminante

Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suelerepresentarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.
* Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de lasabscisas: X):
.
* Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

* Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólosi– el discriminante es no negativo.
[editar] Ecuación bicuadrática
Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.
[editar] Clasificación
La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]
1....