ecuaciones

Igualando a cero cada factor y resolviendo cada ecuación se obtienen las soluciones:
2 + 2 = 0 2 — 7 = 0
2j = -2 x2 — 7
Resolver x2 + 3x — 10 = 0
Solución:
Factores de x2 son 2, 2 Factores de —10 que sumados dan +3 Factores de 10 son (1, 10), (2, 5). Como el producto es negativo significa que los factores tienen signos opuestos (-1,10), (1, -10), (-2, 5), (2, -5).
Se elige ( — 2,5) porquesuman + 3 y se descartan los demás pa­res de valores.
Por lo tanto:
22 + 3x — 10 = (2 — 2) (2 + 5)
Igualando a cero cada factor y resolviendo cada ecuación se obtienen las soluciones:
2—2=0 2+5= 0
2, = 2 x2 = -5
Resolver x2 - 3x - 10 = 0
Solución:
Factores de x2: 2, 2
Factores de —10 que suman —3: ( — 5, 2)
Por lo tanto:
x2 - 3x - 10 = (2 - 5) (2 + 2) Igualando a cero cada factor yresolviendo:
2 — 5 = 0 x + 2= 0
x, = 5 x2 = —2
Resolver x2 - 7x + 12 = 0
Solución:
Factores de x2: 2, 2
Factores de 12 que sumados dan -7
Como el producto (12) es positivo, significa que los factores tie­nen igual signo y como la suma es negativa entonces los factores son negativos.
Por lo tanto, la pareja de valores que cumple con las dos condi­ciones es (- 3, - 4) pues (- 3) (- 4) = 12 y (-3) + (- 4) = - 7, entonces:
x2 - 7x + 12 = (x - 3) (x - 4)
Igualando cada factor a cero y resolviendo:
x — 3 = 0 x — 4 = 0 Xj = 3 x2 = 4
Ejercicio LIX
Resolver por factorización las siguientes ecuaciones:

4. Trinomio cuadrado perfecto.
El cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto:
(x + y)2 = (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2 (x — y)2 — (x — y) (x — y) = x2 — 2xy + y2
Demanera que los factores o divisores de un trinomio cuadra­do perfecto son dos binomios iguales y para obtenerlos procede­mos como en el caso anterior.
Resolver x2 — 14x + 49 = 0
Solución:
Factores de x2: x, x
Factores o divisores de 49: (1, 49), (- 1, -49), (7, 7), (-7, -7), como el producto (+ 49) es positivo significa que los factores tienen
igual signo y como la suma (-14) es negativa elegimos(- 7, - 7), pues (— 7) (— 7) = + 49 y (— 7) + (— 7) = - 14 entonces:
x2 - 14x + 49 = (x - 7) (x - 7) = (x - 7)2 x — 7 = 0 x - 7 = 0
Xj = 7 x2 = 7
* Para saber si x2 — 14x + 49 = 0 es un trinomio cuadrado per- iecto, se debe tomar en cuenta que el primer y tercer términos son el cuadrado de algún número y que el término central (- 14x) es el doble producto de las raíces de los términoscuadráticos.
doble producto de las raíces
2(x)(7)



Entonces x2 - 14x + 49 = (x - 7)2
raíz del tercer término (49) signo del término central (-)
raíz del primer término (x2)
Resolver 4x2 + 24x + 36 = 0 Solución:
Al inspeccionar el trinomio se observa que es un trinomio cua­drado perfecto, pues 4x2 y 36 son términos cuadráticos y (+ 24x) es el doble producto de las raíces de los términoscuadráticos. Por lo tanto:
4x2 + 24x + 36 = (2x + 6)2
^ raíz del tercer término (36)
signo del término central ( + )
raíz del primer término (4x2)
Como (2x + 6)2 = (2x + 6) (2x + 6), igualando cada factor a cero y resolviendo, se tiene:
2x + 6 = 0 2x = -6
6
2
x = —3
Puesto que los dos factores son iguales, entonces las raíces o soluciones de la ecuación son:
x, = -3 y x2 = -3
Ejercicio LXResolver por factorización las siguientes ecuaciones:
2. x2 — 6x + 9 = 0 !
4. x2 + 18x + 81 = 0 6. 9x2 - 12x + 4 = 0 ^
8. x2 — —x+ — = 0 3 9
10. x2 + 3x + -^ = 0 4
5. Completando el trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio de la forma x2 + bx + c = 0, también se pueden com­plementar para transformarlos en trinomios cuadrados perfec­tos, los cuales se resuelven como ya se ha explicado en el incisoanterior.
A continuación se proponen varias expresiones a las que les falta un término para ser trinomios cuadrados perfectos; en cada expresión el coeficiente del término cuadrático es 1.
a) x2 + 6x -t- . . .
El tercer término es el cuadrado de la mitad de 6; cuadrado de
J_ (6) = 32 = 9 2
entonces el trinomio cuadrado perfecto es x2 + 6x +9
b) x2 - 12x + . . .
cuadrado de —12) = (-6)2...