Ecuaciones

Problemas Resueltos de
Ecuaciones en Derivadas
Parciales


14 de diciembre de 2011.

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´Indice general
Introducci´
on

I

1. Ecuaciones de primer orden
1.1. M´etodo de las bandas caracter´ısticas . . .
1.1.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .
1.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . .
1.2. M´etodo de las Integrales Primeras . . . .
1.2.1. Ejercicios resueltos . . . .. . . . .
1.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . .
1.3. Ecuaciones de Primer Orden No Lineales
1.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . .
1.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . .
2. Ecuaciones de Segundo Orden
2.1. Clasificaci´
on de Ecuaciones Cuasilineales
2.1.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . .
2.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . .
2.2. Ecuaciones Hiperb´
olicas .. . . . . . . .
2.2.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . .
2.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . .
2.3. Ecuaciones Parab´
olicas . . . . . . . . . .
2.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . .
2.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . .

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de Segundo
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1
1
1
11
12
12
22
23
23
38

Orden
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67
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´INDICE GENERAL

Introducci´
on
En esta memoria se recopilan una serie de problemas de la materia de quinto
curso de la licenciatura de Ciencias matem´aticas de la Universidad deSantiago
de Compostela denominada Ecuaciones en Derivadas Parciales.
La intenci´
on es proporcionar al alumnado interesado en esta materia problemas relacionados con los distintos tipos de problemas abordados a lo largo
de la materia. As´ı pues resolveremos en el primer cap´ıtulo problemas de primer
orden, tanto cuasilineales como no lineales. En el primer caso, la resoluci´on se
basar´
atanto en el m´etodo de las curvas caracter´ısticas como en el de las integrales primeras. El c´
alculo de las generatrices del cono de Monge ser´an las
herramientas usadas para la resoluci´on de las ecuaciones no lineales.
El segundo tema est´
a dedicado a la clasificaci´on de ecuaciones cuasilineales
y a la resoluci´
on de ecuaciones hiperb´olicas y parab´olicas. En el primer caso se
reducir´an a su forma can´
onica por medio de las curvas caracter´ısticas y, cuando
ello sea posible, se obtendr´
a la soluci´on expl´ıcita del problema tratado. Para
la resoluci´
on efectiva de las ecuaciones hiperb´olicas y parab´olicas, usaremos la
expresi´
on de la soluci´
on general obtenida en el desarrollo de las clases te´oricas.
En buena parte de los casos la resoluci´on directa de lasintegrales involucradas
no va a ser posible, por lo que se recurrir´a a las propiedades cualitativas de las
funciones que aparecen en la expresi´on de la soluci´on tratada en los problemas
parab´
olicos y a los resultados cl´
asicos del an´alisis vectorial en los hiperb´olicos.
Si bien en muchos casos estas integrales pueden ser resueltas directamente
por medio de programaci´
onmatem´atica, se han realizado los c´alculos con detalle, por considerar que el desarrollo del c´alculo vectorial es fundamental en la
formaci´
on del alumnado al que va dirigido esta materia.
Todas las superficies soluci´
on de los problemas resueltos son representados
en el propio ejercicio.
Las distintas secciones finalizan con problemas propuestos, aport´andose la
expresi´
on de la soluci´
on...