Ecuaciones

Sistema de ecuaciones
Lineales.






Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, es un conjunto de ecuaciones lineales, es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado, definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problemaconsiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema.


Sistemas homogéneos
Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términosindependientes nulos se dice que es “Homogéneo”
Sólo admite la Solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
Sistema no homogéneo
Unsistema de ecuaciones es homogéneo si el termino independiente de cada una de las ecuaciones que lo constituyen son nulos; por lo tanto no será homogéneo cuando para al menos una ecuación, el termino independiente es no nulo. Por ejempló:

3.x + 2.y = 0
x + 12.y = 0

Es homogéneo, pero el que sigue no lo es

4.x + 5.y = 1
2.x - 7.y = 0

porque la primer ecuación tiene termino independienteigual a -1, es decir no nulo.
En general, un sistema de ecuaciones (puede ser también una sola ecuación) tiene la forma Ax = b, donde A es una matriz y x y b son vectores. Cuando b es distinto de cero el sistema se llama "no homogéneo". El sistema homogéneo asociado (o ecuación homogénea asociada) es entonces, Ax = 0.

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneos delmismo grado.


Sea la función Z = ƒ(x, y), se dice que es homogénea de grado "n" si se
verifica que f( tx, ty) = tⁿ f( x, y) ; siendo "n" un número real. En muchos casos se puede identificar el grado de homogeneidad de la función, analizando el grado de cada término.

Sistema compatible.
Los sistemas de ecuaciones compatibles son los que tienen solución.
Hay dos tipos de sistemas deecuaciones compatibles:
Sistemas compatibles determinados e indeterminados
Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vistaalgebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistema compatible determinado
Un sistema compatible determinado tiene una sola solución.
x = 2, y = 3
Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas.

Sistema compatible indeterminado
Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones.Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución.


Sistemas Incompatibles
Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando no tiene soluciones, o sea que las ecuaciones del sistema no tienen soluciones comunes.
Los sistemas de ecuaciones incompatibles se llaman también imposibles.
Ejemplo, el sistema:

Es incompatible o imposible porque lasecuaciones no tienen soluciones comunes.
Mejor con ejemplos:
-------------------------
2x + y =6
x+y=5

tiene por solución x=1 e y=4 es compatible determinado

Gráficamente son dos rectas que se cortan.
--------------------------
2x + y= 6
4x +2y=12

tiene infinitas soluciones (1,4) (0,6) (3,0) etc
es compatible indeterminado

Observa que la segunda ecuación es un múltiplo de la primera,...