Ecuación de la Recta

UNIDAD: ECUACIÓN DE LA RECTA


Objetivo de la Unidad

Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta, iniciándose en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos.

Introducción

¿Qué es una “función”?

En lenguaje corriente decimos, por ejemplo, que el valor de una casa depende del número de m2 construidos, que la estatura de unapersona depende de su edad, etc. Aparece en estos casos una “relación de dependencia”, a la cual llamamos función.

Otros ejemplos:

Electrocardiograma impulsos eléctricos producidos por el corazón.

Temperatura ambiental estaciones del año.

Costo llamada telefónica duración de la llamada.

Precio de una moto marca, año, modelo, motor, etc.


Conocimientos previos

Un parordenado (a,b) de números reales se puede representar como un punto en el plano cartesiano. Para ello, se consideran dos rectas perpendiculares; una horizontal, denominada eje de las abscisas, que se designa por X, y otra vertical, denominada eje de las ordenadas, designada por la letra Y.












Actividad

Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano.

A(2,1) D(0,4) G(-1,1)J(5,-4)
B(3,5) E(4,0) H(-4,0) K(1/2,-1)
C(0,0) F(-3,2) I(-2,-2) L(-3/4,5/3)


Concepto de Función

Una función f de A en B es una relación de A en B que cumple la propiedad de que cada elemento “x” del conjunto A se relaciona con solo un elemento “f(x)” del conjunto B.

Ejemplo

Observa la relación que existe entre los siguientes números.

1 1
2 4
3 9
4 16
. .
. .
. .Esto es:

x x2 o bien f(x)=x2 (expresión analítica)

Si escribimos f(3), lo que queremos expresar es: “aplicar la función f al elemento 3”. Al hacerlo resulta 32=9. Luego, escribimos:

f(3)=9


Observaciones

Si f es una función de A en B, se anota: f: A B

El conjunto A se llama dominio, y el conjunto B se llama codominio.

f(x) se lee “f de x” o “f en x”.

Si elpar ordenado (x,y) pertenece a la función f, se anota f(x)=y, en donde x se llama preimagen de y, e y se llama imagen de x.

Una función puede interpretarse como una “máquina”, que transforma cada elemento del dominio (preimagen) en otro elemento del codominio (imagen).

Ejemplo: Sea f(x)=x+3






Luego, el par ordenado (4,7) pertenece a la función f(x)=x+3, donde 4 es la preimagen de 7,y 7 es la imagen de 4.
Lo anterior se anota: (4,7) f f(4)=7

El rango o recorrido de una función es el conjunto de todos lo valores posibles de ésta, que se obtienen cuando “x” varía en todo el dominio de la función.

En general, el recorrido es un subconjunto del codominio (conjunto de llegada).

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Ejemplos

a) Considerar el conjunto A=, el conjunto B= y la relación de dependencia (ocorrespondencia) entre A y B, la cual “asigna a cada elemento su cuádruplo”. Verificar si esta relación es una función, determinando su dominio, codominio y recorrido.

Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B, esta relación si es una función, en donde:

Dom f==A; Cod f==B; Rec f=

b) Sean A=, B= y la relación que “asigna a cada elemento de A el resultado deextraer su raíz cuadrada”. Determinar si esta relación es una función de A en B.

En este caso, existen elementos de A que no se corresponden con un elemento de B. Luego, esta relación no es una función de A en B.



c) Considerar A= y B=. Determinar, mediante diagramas sagitales, si las siguientes relaciones son funciones de A en B.

R1= R4=
R2= R5=
R3= R6=


d) En los siguientesgráficos se dan relaciones de IR en IR. Si A=, determinar si éstas son funciones de A en IR.


















Expresión analítica de una función

Como vimos en un comienzo, a veces una función se puede expresar mediante una “fórmula” que nos permite calcular las imágenes de los elementos del primer conjunto o las preimágenes de los elementos del segundo. Por ejemplo, la...