Ecuacion de la recta

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Ecuación punto-pendiente
SeaP_0 (x_0,y_0 ) un punto de una recta y su pendiente, entonces su ecuación viene dada por:
y-y_0=m(x-x_0 ) m= (y_2-y_1)/(x_2-x_1 )
Ecuación general o implícita de una recta
La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo que se denomina:
Ecuación general o implícita de larecta:
ax+by+C=0
Ecuación explicita de la recta o ecuación pendiente ordenada de la recta
y=mx+b
Donde m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de b puede ser interpretado como el punto donde la recta intercepta al eje Y, es decir, el valor de y cuando x = 0. Este valor también es llamado coordenada de origen.
Ecuación simétrica o canoníca de la recta
x/a+y/b=1
. En este caso a, es ladistancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje X y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje Y.
Sea ax+by+C=0 la ecuación general de la recta y P_0 (x_0,y_0 ) un punto exterior a la recta , la distancia del punto P_0 a la recta ax+by+C=0 viene dada por:
D= |ax_0+by_0+c|/√((a^2+b^2 ) )

1.- encuentre la ecuación de larecta que pasa por los puntos (3,-5) y (1,-2) y escriba la ecuación en la forma de pendiente de pendiente y ordenada en el origen.
Solución
Sean P_1 (3,-5) y P_2 (1,-2) entonces la pendiente viene dada por.
m=(-2-(-5))/(1-3)=(-2+5)/(1-3)=3/(-2)=-3/2
Ahora haremos uso de la ecuación y-y_0=m(x-x_0 ) con el punto (3,-5)
y-(-5)=-3/2 (x-3) → y+5=-3/2 x+9/2 →y=-3/2 x+9/2-5
→ y=-3/2x+((9-10)/2) → y=-3/2 x+((-1)/2) → ▭(y=-3/2 x-1/2)
Para graficar :
Cuando x=o, y=-1/2 es decir el punto es (0,-1/2)
Si y=0→0=-3/2 x-1/2→3/2 x=-(1∙2)/(2∙3)→▭(x=-1/3)
Luego el punto es (-1/3,0)

2.- demuestre que son paralelas las rectas cuyas ecuaciones son:3x+5y+7=0 y 6x+10y-5=0
Solución
Dos rectas son paralelas solo si tienen la misma pendiente, por lo cual expresaremos las dos ecuacionesanteriores de la forma pendiente ordenada y=mx+b
L_1: 3x+5y+7=0 →5y=-3x-7 →y= -3/5 x-7/5 →▭(m_1=-3/5)
L_2: 6x+10y-5=0→10y=-6x+5→y=-6/10 x+5/10 →m=-6/10
→▭(m_2=-3/5)
Luego las rectas L_1: y L_2 son paralelas pues m_1=m_2
Para graficar L_1
Cuando x=o, y=-7/5 es decir el punto es (0,-7/5)
Si y=0→3x+5(0)+7=0→3x+7=0→3x=-7→x=-7/3
Luego el punto es (-7/3,0)
Para graficar L_2
Cuando x=o,y=-5/10→y=-1/5→ es decir el punto es (0,-1/5)
Si y=0→6x+10(0)-5=0→6x-5=0→6x=5→x=5/6
Luego el punto es (5/6,0)

L_1:3x+5y+7=0


L_2:6x+10y-5=0


3.- Demuestre que son perpendiculares las rectas cuyas ecuaciones son:
3x+5y+7=0 Y 5x-3y-2=0
Solución
Dadas dos rectas L_1 y L_2 con pendientes m_1 y m_2 respectivamente , se dicen que son perpendiculares sim_1∙m_2=-1
Del ejercicio (2) sabemos que L_1:3x+5y+7=0 tiene pendiente ▭(m_1=-3/5)
Por otro lado
L_2: 5x-3y-2=0→-3y=-5x+2→3y=5x-2→y=5/3 x-2/3→▭(m_2=5/3)
m_1∙m_2=-3/5∙5/3=-1
Por lo tanto L_1 y L_2 son perpendiculares

Para graficar L_1
Cuando x=o, 3(0)+5y+7=0→5y+7=0→5y=-7→y=-7/5
El punto es (0,-7/5)
Si y=0→3x+5(0)+7=0→3x+7=0→3x=-7→x=-7/3
Luego el punto es (-7/3,0)
Para graficar L_2Cuando x=o, 5(0)-3y-2=0→-3y-2=0→3y=-2→y=-2/3 es decir el punto es (0,-2/3)
Si y=0→ 5x-3(0)-2=0→5x-2=0→5x=2→x=2/5
Luego el punto es (2/5,0)
L_1:3x+5y+7=0


L_2:5x-3y-2=0



4.- Halle las ecuaciones de las tres medianas del triangulo que pasa por los vértices en A(3,-2), B(3,-4), C(-1,1)

Solución
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vérticeopuesto por lo tanto debemos buscar los puntos medios de los lados AB,AC y BC del triangulo dado, así.
P_m (AB)=((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)=((3+3)/2,(-2+(-4))/2)=(6/2,(-6)/2)=(3,-3)
P_m (AC)=((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)=((3+(-1))/2,(-2+1)/2)=(2/2,(-1)/2)=(1,-1/2)
P_m (BC)=((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)=((3+(-1))/2,((-4)+1)/2)=(2/2,(-3)/2)=(1,-3/2)


5.-encuentre laA(-3,2); B (4,3); y...
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