Ecuacones diferenciales

Curso introductorio a las ecuaciones diferenciales
Omar Gil
Julio de 1999

Desde esta milonga se dan las gracias a toda persona que sea capaz de estar dos minutos ensimismada tratando aplicada de mejorar Fernando Cabrera, en D´cimas Porte˜as, e n Fines (1994)

´ SIMPLICIDAD DE LA MATEMATICA. Existe una opini´n muy generalizada seg´n la cual la matem´tica es la ciencia o u a m´s dif´cuando en realidad es la m´s simple de todas. La causa de esta paraa ıcil a doja reside en el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matem´ticos equivocados quedan a la vista. En una compleja cuesti´n de pol´ a o ıtica o arte, hay tantos factores en juego y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy dif´ distinguir lo verdadero de lo falso. El resultado es que cualquiertonto se cree ıcil en condiciones de discutir sobre pol´ ıtica y arte —y en verdad lo hace— mientras que mira la matem´tica desde una respetuosa distancia. a Ernesto S´bato, en Uno y el Universo (1945) a

0.1

Introducci´n o

Este texto pretende servir como introducci´n a la teor´ de las ecuaciones diferenciao ıa les ordinarias y en derivadas parciales, cubriendo al mismo tiempo algunasnociones b´sicas del an´lisis matem´tico que resultan imprescindibles para dar los primeros a a a pasos en la teor´ de las ecuaciones diferenciales. Ha sido pensado para atender las ıa necesidad del curso de Ecuaciones Diferenciales que corresponde al nuevo plan de estudios de la Facultad de Ingenier´ aunque esperamos que pueda ser util tambi´n ıa, ´ e en otros contextos. En realidad no es todav´ untexto acabado, sino una segunda ıa versi´n, corregida a partir de la experiencia recogida en la versi´n de 1998 del curso o o Ecuaciones Diferenciales, de un libro que est´ en proceso de elaboraci´n. a o En la exposici´n hemos tratado de priorizar aspectos cualitativos de la teor´ o ıa b´sica de las ecuaciones diferenciales: se introduce r´pidamente la noci´n de diaa a o grama de fases y losconceptos de estabilidad e inestabilidad de puntos cr´ ıticos en ejemplos de ecuaciones diferenciales en la recta; el mismo enfoque se utiliza para ecuaciones en el plano; en el caso de los sisetemas lineales en el plano hemos presentado una discusi´n exhaustiva con el objetivo de que el estudiante pueda apreciar o todos los comportamientos din´micos que pueden presentar; para la ecuaci´n de ona o das seenfatiza la presencia de caracter´ ısticas y la ausencia de efectos regularizantes; hemos dedicado una secci´n al principio del m´ximo para la ecuaci´n del calor, y o a o hemos subrayado tambi´n el car´cter irreversible de la evoluci´n y la presencia de e a o una fuerte regularizaci´n, etc. o Existe en la actualidad un buen n´mero de libros de ecuaciones diferenciales u ordinarias que enfatizanestos aspectos cualitativos y los combinan con el uso de la enorme capacidad de c´lculo que tienen las computadores modernas. Un buen a ejemplo de este tipo de textos es la referencia [BP]. Recomendamos, por ejemplo, la lectura de las secciones dedicadas a los problemas de especies competidoras y de rapaz-presa, como un complemento al cap´ ıtulo 3 de este texto. La secci´n dedicada o a modelos enlos que aparecen fen´menos ca´ticos es un muy buen complemento a o o este curso. Sin embargo no es corriente que estos textos ofrezcan una introducci´n o a los temas de an´lisis que abordaremos en este curso. a Algo similar ocurre con la literatura dedicada a las ecuaciones en derivadas parciales. Es posible encontrar referencias que presentan los m´todos de c´lculo al e a

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nivel quetrabajaremos en este curso, pero no discuten algunos aspectos cualitativos b´sicos y relativamente f´ciles de analizar, o textos m´s avanzados en los que se a a a hace una exposici´n de parte de la teor´ a un nivel m´s alto que el que podemos o ıa a alcanzar en una primera introducci´n. El texto [I] escapa a estas dos categor´ y o ıa combina la descripci´n de los aspecto b´sicos de la teor´ y los...