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PROPIEDADES DE LOS
NUMEROS REALES
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Departamento de Matemáticas
Prof. Yuitza T. Humarán Martínez
Adaptado por Prof. Caroline Rodriguez

Naturales
N={1, 2, 3, 4, …}

{0}

{-1, -2, -3, …}

Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Opuestos de fracciones
de naturales

Fracciones de naturales

Racionales,
Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0}Irracionales

Reales, R

Otro diagrama, R
REALES
Racionales

−

0.25
3
5

Irracionales

π

Enteros

3

-2
-7
Naturales
7

0. 3

2
9

0

1

2

4

2

e

Propiedades de los reales
• Clausura
• Conmutativa
• Asociativa
• Distributiva
• Identidad
• Inversos

Clausura
• Propiedad de clausura de la suma

Sean a y b números reales, entonces
a + b esun número real.
Si sumas dos números reales, el total es también un
número real.
Ejemplos:
-10 + 49 = 39
-5 + -100 = -105

½ + ¾ = 5⁄4

2 − 5 2 = −4 2

Clausura
• Propiedad de clausura de la multiplicación

Sean a y b números reales, entonces
ab es un número real.
Si multiplicas dos números reales, el producto es también
un número real.
Ejemplos:
(-10)( 49) = -490
(½) ( ¾) =3⁄8
(-5)(-100) = 500

2 5 2 =5

2

2

= 5 ∙ 4 = 20

Conjunto cerrado
• Decimos que el conjunto de los reales está cerrado para

las operaciones de suma y multiplicación.

Propiedad conmutativa de la suma
Ejemplo:
(2 + 5) = 7.
(5 + 2) = 7.
Como ambos enunciados son equivalentes a 7
escribimos 2 + 5 = 5 +2.
Propiedad conmutativa de la suma:
• Sean a y b números reales entoncesa + b = b + a.
(si cambias el orden de dos sumandos, el total no cambia.)

Propiedad conmutativa de la
multiplicación
Ejemplo:
(2)(5) =10.
(5)(2) = 10.
Como ambos enunciados son equivalentes a 10,
escribimos
(2)(5) = (5)(2).
Propiedad conmutativa de la multiplicación
Sean a y b números reales entonces
ab = ba.
(si cambias el orden de dos multiplicandos, el producto no
cambia.)Nota:
• ¿Son la resta y la división conmutativas?
• Ejemplo

Determine:
a. 5 – 4 = 1
b. 4 – 5 = –1
Como los valores son diferentes, las expresiones
no son equivalentes, por lo tanto la resta NO es
conmutativa.

Nota:
• Ejemplo

Determine:
a. 12 ÷ 4 = 3
b. 4 ÷ 12 =

1
4
ó
3
12

Como los valores son diferentes, las expresiones
NO son equivalentes, por lo tanto la divisiónno es
conmutativa.

Asociativa
Ejemplo:
Par a determinar el total de 2 + 3 + 4 sin utilizar la
propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas:
• Sumando primero el 3 y el 4
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
• Sumando primero el 2 y el 3
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9

Como ambos enunciados son equivalentes a 9
podemos decir que los enunciados son equivalentes
y escribimos 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4Propiedad asociativa de la suma
• Sean a, b y c números reales entonces

a + (b + c) = (a + b) + c.

• Como a + (b + c) es equivalente a (a + b) + c puedes

intercambiar las expresiones.

Asociativa
Ejemplo:
Par a determinar el producto de 2(3)(4) sin utilizar la
propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas:
• Multiplicando primero el 3 y el 4
2 [(3)(4)] = 2(12) = 24
•Multiplicando primero el 2 y el 3
[(2)(3)]4 = 6(4) = 24

Como ambos enunciados son equivalentes a 24
podemos decir que los enunciados son equivalentes
y escribimos
2 [(3)(4)] = [(2)(3)]4

Propiedad asociativa de la multiplicación
• Sean a, b y c números reales entonces

a(bc) = (ab)c.

• Como a(bc) es equivalente a (ab)c, puedes intercambiar

las expresiones.

Distributiva
• Ejemplo:Determine el valor de las expresiones:
a. 5 ( 2 + 3)
Recuerde que los paréntesis agrupan e indican lo que se
quiere hacer primero.
5 ( 2 + 3) = 5 (5) = 25
b. 5 (2) + 5 (3)
5 (2) + 5 (3) = 10 + 15 = 25
Como ambos enunciados son equivalentes a 25
podemos decir que los enunciados son equivalentes y
escribimos, 5(2+ 3)= 5(2)+5(3)

Propiedad distributiva

En general, para a, b y c...