EDO UNISUCRE 2015 2

 Universidad de Sucre Ingeniería Civil Curso: Análisis Numérico 2015
Guía de clase No.13 Conceptos básicos de Ecuaciones diferenciales Ordinarias, EDO
Introducción: Inicialmente debemos revisar algunos conceptos básicos de EDO.
Definición 1. Ecuación diferencial: Una ecuación que contienederivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ED., por ejemplo:
Y’’ + Y’ – 2X = eX Ecuación diferencial Ordinaria de orden 2
Dxf(x,y) + Dyf(x,y) = 1 Ecuación diferencial parcial de orden 1
A las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas ordinarias, de x, las denominaremos, EDO.
Simbólicamente podemosexpresar una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden con una variable independiente por la fórmula general:
F( x, y, y’, y’’,…….,yn) = 0
Definición 2. Solución de una EDO: cualquier función Ф, definida en un intervalo I y que tiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en la ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, sedice que es una solución de la ecuación en el intervalo.
Simbólicamente F(x, Ф(x),Ф’(x), ……….,Фn(x)) = 0
Definición 3. Intervalo de solución: El intervalo I de definición de una EDO, es aquel en donde la solución Ф y sus n-derivadas son continuas.
Definición 4. La grafica de una solución Ф de una EDO se llama curva solución. y’ = sin(x) ; y(x) = C*cos(x)

Definición5. Familia de Soluciones: cuando resolvemos una EDO de orden n, F(x, y’,y’’, …yn) =0, buscamos una familia de soluciones n-paramétrica G(x, y ,C1, C2, ….., Cn) = 0 Esto significa que una EDO puede tener un número infinito de soluciones.
Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de un PVI
Aquí analizaremos problemas EDO, que satisfacen: continuidad, diferenciabilidad y condición deLipschitz, que se requieren para la existencia y unicidad de soluciones; además las EDO, no serán del tipo Stiff. Los aspectos relacionados con existencia, unicidad y estabilidad pueden consultarse en los libros de EDO (Ecuaciones diferenciales y Problemas con valores en la frontera. Boyce-Diprima)
Ejemplo 1. Resuelva la EDO y’ = y, I=[-2,2] a. Analíticamente, b. Graficar las soluciones particularesC2= -1 , 0.0001, 1
Solución: a. ln(y) =x + C1 , y = ex +C1 = ex eC1 ; función solución y = C2 ex , I = R
b. Grafica de las soluciones particulares C2 = -1, y1(x) =-1ex ; C2 = 0.0001, y2=0.0001ex , y3 = 1ex, sobre el intervalo I =[-2 , 2].
x=-2:0.01:2; y1=-1*exp(x); y2=0.0001*exp(x); y3=1*exp(x); plot(x,y1,x,y2,x,y3)


Ejemplo 2 a. Compruebe que la función y =Ф(x) =x + 4(x +2)1/2 es una solución de la EDO: (y - x) y’ = y - x - 8



Problemas de Valores Iniciales PVI, en EDO
Con frecuencia nos interesan problemas en los que buscamos una solución y(x) de una ecuación diferencial tal que y(x) satisface unas condiciones prescritas, es decir, condiciones impuestas sobre una y(x) desconocida o sus derivadas. En un intervalo I que contiene a xo el problema:
Resolver yn =f(x, y, y1, ……yn-1) , sujeto a y(xo) = yo, y’(xo) = y1, ………yn-1(xo) = yn-1
Donde yo, y1,………,yn-1 son constantes reales arbitrarias dadas se llama Problema con Valores Iniciales, PVI.
Ejemplo 3:

Solución: ln(y) =(1/3)x3 – 1.1x +Co ; y = C1exp((1/3)x^3 -1.1x)
Por las condiciones iniciales, y(0)=1; C1 = 1. Solución particular, y= 1*exp((1/3)x^3 - 1.1x)
x=0:0.001:2; y=exp((1/3)*x.^3-1.1*x) ;plot(x,y,0,1,'*')
xlabel('x');ylabel('y=exp((1/3)x^3–1.1x)'); title('Solución al PVI:dy/dx = y*x^2-1.1*y,y(0)=1,I=[0,2]')

Universidad de Sucre Programa de Ingeniería Civil Curso: Métodos Numéricos
Guía de clase No.14 Solución Numérica de Ecuaciones diferenciales Ordinarias, EDO
Introducción: no todos los problemas de valor inicial pueden resolverse explícitamente; con frecuencia es imposible hallar...