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Regla de Simpson


La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo).
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor deThomas Simpson) ya veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
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Índice
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1 Introducción
2 Derivación de la regla deSimpson
3 Error
4 Regla de Simpson compuesta
5 Historia
6 Véase también
7 Referencias
8 Enlaces externos



Introducción
En integración numérica, Una forma de aproximar una integral definidaen un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular la integralcomo suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximando los subintervalos de f mediantepolinomios de segundo grado.
Derivación de la regla de Simpson
Consideramos el polinomio interpolante de orden dos , que aproxima a la función integrando  entre los nodos x0 = a, x1= b y m = (a+b)/2. Laexpresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:

Así, la integral buscada1

es equivalente a

donde E(f) es el término de error; por lotanto, se puede aproximar como:

Error
El término error E(f), llamado error global, corresponde a1

donde  y  pertenece al intervalo [a,b].
Se puede calcular una estimación del error cometido alaproximar la integral mediante este método. Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos absolutos) está acotado como2

donde, denuevo  y .

Regla de Simpson compuesta
En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula...