eeeeeee

ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1 Introducción
En un modelo dinámico el tiempo puede intervenir en forma continua o discreta,
utilizándose diferentes elementos matemáticos según sea el caso. En el Capítulo 1
estudiaremos las ecuaciones diferenciales donde el tiempo interviene en forma continua
y en el Capítulo 2 las ecuaciones en diferencias donde el tiempo se mide en forma
discreta.
Muchosproblemas de las ciencias aplicadas se formulan, matemáticamente, por medio
de la determinación de una función incógnita que satisface una ecuación en la que
aparece ella y sus derivadas. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones diferenciales.
A diferencia de las ecuaciones algebraicas, donde la incógnita que se determina
representa algún tipo de número, en las ecuaciones diferenciales lasincógnitas del
problema son funciones reales.
Se trata de encontrar una función y ( x) que verifique cierta relación funcional de la
forma
F ( x, y, y ', y ''…, y ( n ) ) = 0.

Por definición, el orden de la ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta
que aparece en su expresión. Por ejemplo, la ecuación diferencial y ′′′ + 2e x y ′′ + yy ′ = x 4
es de tercer orden.
Una solución de laecuación en el intervalo α < x < β , es una función φ ( x) que
satisface la relación funcional de partida, es decir verifica
F ( x, φ ( x), φ ′ ( x), φ ′′ ( x),…, φ ( n ) ( x)) = 0.

Dada una ecuación diferencial, suele ser inmediato comprobar si una determinada
función es solución suya, por simple sustitución. Por ejemplo, es fácil ver que las
siguientes funciones son soluciones de lasecuaciones diferenciales correspondientes.
1.

La ecuación y = 2e − x para −∞ < x < ∞, es solución de y ′ = − y.

2.

y = cos x, y = senx, para −∞ < x < ∞, es solución de y ′′ + y = 0.

3.

La ecuación y = x 2 ln x para x > 0 , es solución de x 2 y ′′ − 3xy ′ + 4 y = 0.

Comenzaremos, por simplicidad, con el estudio de las ecuaciones diferenciales de
primer orden.

1.2. Problemasbásicos en ecuaciones
diferenciales
Una ecuación diferencial de primer orden se dice que está escrita en forma normal
cuando viene expresada en la siguiente forma funcional

y ′ = f ( x, y ) o

dy
= f ( x, y ).
dx

En el caso en que se considere el movimiento de una variable y respecto al tiempo
utilizaremos la notación x = t . En tal caso la derivada suele expresarse como y, y la
formanormal es
y = f (t , y ).
Una relación de este tipo suele denominarse también sistema dinámico continuo.
Existen tres problemas básicos a considerar en relación con una ecuación diferencial, el
de la existencia de la solución, el de la unicidad de la solución y el del cálculo efectivo
de las soluciones. A continuación enunciaremos cada uno de ellos por separado.

Problema de la existencia desolución
Dada una ecuación diferencial ¿cuándo podemos afirmar, de antemano, si tiene
solución? Este es un problema teórico complicado, en el que los matemáticos invirtieron
mucho esfuerzo hasta encontrar una respuesta afirmativa. Puede demostrarse, bajo
condiciones bastante generales de regularidad para la función f ( x, y ) tales como la
continuidad de las funciones f y ∂fy , que laecuación y ′ = f ( x, y ) posee solución.
∂

Problema de la unicidad. Soluciones generales y particulares
A continuación resulta lógico hacerse las siguientes preguntas, ¿cuántas soluciones
admite una ecuación diferencial?, ¿qué tipo de condiciones adicionales deben
especificarse para que la solución sea única?
En general, una ecuación diferencial posee infinitas soluciones. Por ejemplo, esinmediato comprobar que y ′ = y tiene infinitas soluciones de la forma y = Ce x , donde
C ∈ R es una constante arbitraria. Análogamente, la ecuación y ′′ + y = 0 tiene
soluciones tanto de la forma y = k1 sen x como de la forma y = k2 cos x , para cualquier
k1 , k2 ∈ R.
Como veremos, la unicidad de las soluciones se podrá garantizar imponiendo tantas
condiciones adicionales como indique el...