egresado

Integración por cuadratura de Gauss
 
Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración  f(x).El investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss.
 
La Cuadratura Gaussiana selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma espaciada. Seescogen los nodos X1, X2,… Xn en el intervalo [a, b] y los coeficientes C1, C2,. . . , Cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximación:


 
Para resolvercualquier problema por medio de la cuadratura de Gauss, primero tenemos que cambiar los límites de integración a [-1, 1] mediante la siguiente formula:

 
Posteriormente tenemos que efectuar un cambiode variable a la función para que quede en términos de “Z” mediante la siguiente formula:

 
Luego tenemos que cambiar nuestra “dx” a una “dz”, para que todos nuestros términos estén en función de“Z”.

 
Para tal caso queda la siguiente función:



 
Este caso fue resuelto con dos puntos pero el método de Gauss puede extenderse a 3, 4 ó más puntos, el algoritmo general ya en funciónde z tiene la forma de:

Así también puede expresarse de la siguiente forma:

Donde los valores de wi y zi se extraen de la siguiente tabla:
 
No. de Puntos
Coeficientes wi
Raíces zi
2
w1 = w2 =1.0
-z1 = z2 = 0.5773502
3
w1= w3 = 0.55555
w2 = 0.88888
-z1 = z3 = 0.7745966
z2 = 0.0
4
w1 = w4 = 0.3478548451
w2 = w3 = 0.6521451549
-z1 = z4 = 0.861136311
-z2 = z3 = 0.33998104
5
w1 =w5 = 0.2369268850
w2 = w4 = 0.4786286705
w3 = 0.56888888
-z1 = z5 = 0.90617984
z3 = 0.0
-z2 = z4 = 0.53846931
6
w1 = w6 = 0.1713244924
w2 = w5 = 0.3607615730
w3 = w4 = 0.4679139346-z1=z6=0.9324695142
-z2=z5=0.6612093865
-z3=z4=0.2386191861
 
Por ultimo determinamos el número de puntos en que queremos dividir nuestro intervalo, mientras más puntos tomemos mejor será nuestra...