Ejemplo 4 3

Ejemplo 4.3
1. Una barra uniforme de masa m y longitud L cuelga articulada (sin fricción) en uno de sus extremos. El otro
extremo de la barra está unidad a un resorte horizontal de constante elásticak. La barra se desplaza un
pequeño ángulo con respecto a la vertical, se libera y pone a oscilar. Determine la expresión para la
frecuencia angular de oscilación de la barra.

L

θ

Solución
Aldesplazarse la barra, ésta está bajo la acción de dos fuerzas que ejercen
torcas con respecto al punto en que se suspende la barra. La torca debida a la
fuerza gravitacional y la torca debida a la fuerzadel resorte.
a) Magnitud de la torca debida a la fuerza gravitacional que recibe de la Tierra
‫ܮ‬
߬௚ ൌ ݉݃ ൬ ൰ sen θ
2
Dado que el ángulo es pequeño, entonces sen θ ൌ θ. Por tanto, la expresiónanterior, puede presentarse como
‫ܮ‬
߬௚ ൌ ݉݃ ൬ ൰ θ
2

La torca tiende a hacer girar la barra en sentido contrario al giro de la barra.
Por eso la componente z está dada por
‫ܮ‬
߬௚ି௭ ൌ െ݉݃ ൬ ൰ θ
2

θ

h

θሬሬሬԦ
࢝

ሬࡲԦ௥

x

b) Magnitud de la torca debida a la fuerza del resorte

߬௥ ൌ ‫ܨ‬௥ ݄ cos θ

La magnitud de la fuerza debida al resorte está dada por ‫ܨ‬௥ ൌ ݇‫ ݔ‬ൌ ݇‫ ܮ‬sen θ . Como el ángulo es
pequeño,entonces ‫ܨ‬௥ ൌ ݇‫ ݔ‬ൌ ݇‫ܮ‬θ y cos θ ؆ 1. Además, ݄ ؆ ‫ܮ‬. En consecuencia la expresión para la
magnitud de la torca debida al resorte, es:
߬௥ ൌ ݇‫ܮ‬²θ

Dicha torca tiende a hacer girar la garra en sentidocontrario al giro de la barra. Por eso la componente z
está dada por
߬௥ି௭ ൌ െ݇‫ܮ‬²θ

1

Finalmente, tenemos que la componente z de la torca neta es:
݉݃
߬௡௘௧௔ି௭ ൌ െ ቀ
൅ ݇‫ܮ‬ቁ ‫ܮ‬θ
2
Teniendo encuenta que ߬௡௘௧௔ି௭ ൌ ‫ ߙܫ‬ൌ

௠௅మ ௗ²θ
,
ଷ ௗ௧²

entonces:

݉‫ܮ‬ଶ ݀²θ
݉݃
൅ቀ
൅ ݇‫ܮ‬ቁ ‫ܮ‬θ ൌ 0
3 ݀‫ݐ‬²
2

ocupa el lugar que ocupa m de dicha ecuación y ቀ
concluimos:

௠௚
൅
ଶ

௠௅మ
ଷ

݇‫ܮ‬ቁ ‫ ܮ‬ocupa el lugar dek en la ecuación 4.11. Por tanto,

Ahora recurrimos a la analogía de la ecuación anterior con la expresión 4.11 del material de lectura, donde

݉݃
ቀ 2 ൅ ݇‫ܮ‬ቁ ‫ܮ‬
3ሺ݉݃ ൅ 2݇‫ܮ‬ሻ
߱ൌඩ
ൌඨ
݉‫ܮ‬ଶ...