Ejemplo De Modelo Matemático Aplicado En Biología

Licenciatura en Biología Marina

Modelo matemático aplicado en biología

CB. Gomez Sosa Jessica Daniela

L.C.C. Miguel Ángel Uc Dzib

Fecha de entrega
15 de junio de 2010

INTRODUCCIÓN
Biología Matemática o Biomatemática es un área interdisciplinaria de estudios que se enfoca en modelamiento de los procesos biológicos utilizando técnicas matemáticas. Tiene grandes aplicacionesteóricas y prácticas en la investigación biológica.
Debido a la gran diversidad de conocimiento específico involucrado, la investigación biomatemática es a menudo hecha en colaboración entre matemáticos, físicos, biólogos, zoólogos, químicos y fisiólogos, entre otros científicos.
Un modelo de un sistema biológico es convertido a sistemas de ecuaciones, aunque la palabra modelo es a menudo usada comoel sistema de las ecuaciones correspondientes. La solución de las ecuaciones, ya sea por medios analíticos o numéricos, describe cómo el sistema biológico se comporta ya sea a en el tiempo o en equilibrio. Hay muchos diferentes tipos de ecuaciones y el tipo de comportamiento que puede ocurrir es dependiente tanto del modelo como de las ecuaciones utilizadas. El modelo a menudo hace suposicionessobre el sistema. Las ecuaciones pueden también hacer suposiciones sobre la naturaleza de lo que puede ocurrir.
OBJETIVO
El alumno con todos los métodos vistos en el aula de clase resolverá un problema matemático relacionado con la biología.
PREGUNTAS DE INVESTIGACION
Con información recabada en literatura y varias fuentes decidimos hallar las incógnitas sobre esta especie de pez. La que nosinteresa, es saber su evolución en la población, realizando varios métodos matemáticos para llevarla a cabo.
PROBLEMATICA
Consideremos una laguna habitada por la especie de cherna Polyprion americanus. Deseamos estudiar la evolución de la población de esta especie, y para ello, mediante el método de matrices, el estudio asintótico, el modelo geométrico escalar y basándonos en un historial delseguimiento poblacional de la laguna, hemos obtenido los siguientes datos, que refleja la matriz A siguiente:
A=030.20.6
que nos indica que cada hembra adulta produce k=3 descendientes hembras, y como se suponía en nuestro modelo que el numero de hembras y de machos era igual, esto quiere decir, que cada hembra produce seis descendientes (incluso es posible mas, pero que consideramos que sonbajas, debido a factores como la depredación). La matriz A también nos indica que solo el 20% (α=2) de las hembras jóvenes sobreviven hasta llegar a la madurez en la siguiente primavera, y que el 60% (β=0.6) de las hembras adultas sobreviven hasta llegar a la siguiente primavera.
Supongamos también que:
Po = 50200
es decir que al inicio de nuestro estudio, hay p=50 hembras (y 50 machos) jóvenes, yq=200 hembras (y 200 machos) adultas.
METODOLOGIA
Empezamos calculando los valores propios de A y los vectores propios asociados, utilizando para ello el teorema 1 de matrices tenemos que:

3m2 + (0 – 0.6) m- 0.2 = 0 m1=3+6930 λ1 =0 + 3m1 = 3+6910 >0
m2=3-6930 λ2 =0 + 3m2 = 3-6910 <0
Y los vectores propios son:
V1=x=3+6930 , V2 = 3-6930

Por lo tanto aplicando la formula de asíntotas, la población de chernas jóvenes hembras (pj, n) y chernas adultas hembras (pa, n) al cabo de n primaveras será:
P j, n =-56923 503-69303+6910n- 3+69303-6910+200 3-69103+6910n
Pa, n=-56923 - 2003+69303+6910n- 3-69303-6910n+ 1033-69103+6910n
JUSTIFICACION DEL MODELO MATEMATICO
Las matrices se utilizan para resolver sistemasde ecuaciones, que es lo que usamos en este trabajo. Es la forma más simple de resolver un problema con muchos datos, y se puede usar también para una necesidad específica. El estudio asintótico va de la mano con matrices y se usan para saber, así como graficación escalar, la evolución en la población de una especie en particular.

RESULTADOS
La expresión anterior nos indica el número total...