ejemplos de limites

MATEMATICAS
2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

L´ımites de Funciones

CIENCIAS

MaTEX
L´ımites

Fco Javier Gonz´
alez Ortiz

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c 2004 gonzaleof@unican.es
11 de junio de 2004

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MATEMATICAS
2º Bachillerato

1. Introducci´
on
2. Infinit´
esimos
2.1. Algebrade infinit´
esimos
2.2. Orden de un infinit´
esimo
2.3. Infinit´
esimos equivalentes
2.4. Principio de Sustituci´
on
3. Infinitos
3.1. Orden de un infinito
3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logar´ıtmico
4. C´
alculo de l´ımites f (x)g(x)
4.1. Casos indeterminados de l´ımites f (x)g(x)
5. Regla de L’H¨
opital
∞
• Caso
• Caso 0 · ∞ • Caso ∞ − ∞
∞
Soluciones a losEjercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
L´ımites

Tabla de Contenido

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3

1. Introducci´
on
Si has llegado hasta aqu´ı suponemos que has superado el cap´ıtulo de
L´ımites de Funciones I. En este cap´ıtulo vas a profundizar en el c´alculo de
l´ımites con funciones:
trigonom´etricas,
exponenciales y
logar´ıtmicas
que nose han tratado en el cap´ıtulo anterior.
Para ello introduciremos los conceptos de infinit´esimo e infinito. Esto nos
0
que es el
permitir´a calcular el tipo de l´ımite indeterminado de la forma
0
m´as importante y es objeto esencial del C´
alculo diferencial.
El nivel de este cap´ıtulo es adecuado para alumnos de 2o de Bachillerato.

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A

d
Bs=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
L´ımites

Secci´
on 1: Introducci´
on

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Secci´
on 2: Infinit´
esimos

4

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

2. Infinit´
esimos

A

La condici´on esencial es la variabilidad y tener por l´ımite 0.
No hablamos de n´
umeros infinitamente peque˜
nos, ser´ıa un contrasentido.
El n´
umero 10−2002 es realmente peque˜
no perono infinitamente peque˜
no.
La condici´on esencial del infinit´esimo es que se pueda hacer tan peque˜
no
como queramos, por lo que debe ser una expresi´
on variable.
Decimos que x2 es infinit´esimo en x = 0, pues x2 → 0 en x = 0. Pero
decimos que 1 + x2 no es infinit´esimo , pues 1 + x2 → 1 en x = 0.
Tambi´en sen x es infinit´esimo en x = 0, pues sen x → 0 en x = 0. Pero
decimos que 2 +sen x no es infinit´esimo , pues 2 + sen x → 2 en x = 0.
As´ı mismo, sen(1 + x) no es infinit´esimo en x = 0, pues sen(1 + x) → sen 1
en x = 0, pero si lo es en x = −1.
Y as´ı sucesivamente.

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
L´ımites

Toda variable f (x) se llama infinitamente peque˜
na o infinit´esimo cuando
tiende a 0.
f (x) → 0

Ejemplo 2.1. Las siguientes funciones soninfinit´esimos en los puntos que se
indican
1
a) l´ım x − 1
b) l´ım
c) l´ım x2
x→∞ x
x→1
x→0
d ) l´ım sen x
e) l´ım cos x
f ) l´ım tan x
x→0

x→π/2

x→0

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Secci´
on 2: Infinit´
esimos

5

g) l´ım ex − 1

h) l´ım (1 − cos x

x→0

x→0

i ) l´ım ln(1 + x)

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A

x→0

d

2.1. Algebra de infinit´
esimos

Bs=B+mv

Regla I La suma finita de infinit´esimos es un infinit´esimo.
α(x) → 0 β(x) → 0 =⇒ α(x) + β(x) → 0
l´ım x2 + sen x = 0

x→0

l´ım x4 + sen x2 = 0

CIENCIAS

MaTEX

x→0

k ∈ R, α(x) → 0 =⇒ Kα(x) → 0
z(x) acotada , α(x) → 0 =⇒ z(x)α(x) → 0
2.2. Orden de un infinit´
esimo
Cuando x → 0 las variables:
x, x2 , x3 , · · · , xm , · · ·
son infinit´esimos y ´estas se toman comotipos de comparaci´on de otros infinit´esimos. Decimos que f (x) es un infinit´esimo en el punto x = a de orden
n cuando
f (x)
l´ım
= Cte = 0
x→a (x − a)n

L´ımites

Regla II EL producto de un infinit´esimo por una constante, o por una variable acotada, es un infinit´esimo.

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Secci´
on 2: Infinit´
esimos

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r=A+lu

2.3. Infinit´
esimos equivalentes...