Ejercicio estruturas

CÁLCULO DE LAS FUNCIONES DE FUERZA CORTANTE, DE FUERZA
NORMAL Y DE MOMENTO FLECTOR EN UN MARCO ISOSTÁTICO.
Ortiz David1, Molina Marcos2, Martínez Hugo1, J. Bernal Elan2, Hernández Daniel1,
García Pascual2, Berruecos Sergio1
1. Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Zacatenco, Instituto Politécnico
Nacional, Distrito Federal, México.
2. Facultad de Estudios Superiores Aragón,Universidad Nacional Autónoma de México,
Nezahualcóyotl, Estado de México.

MARCO PROPUESTO A RESOLVER
Se desean determinar las expresiones algebraicas (funciones) que describan la variación de
las acciones internas con el método de las secciones en el marco isostático mostrado. Con
referencia a las cargas aplicadas sobre la estructura, obsérvese que perpendicularmente al eje
del miembroA-B y sobre su longitud, se encuentra una carga distribuida, cuya intensidad
varía linealmente desde cero en el apoyo 𝐴 hasta 8𝑇/𝑚 en el punto 𝐵; sobre el miembro
B-C se extiende una carga distribuida gravitacional, cuya intensidad varía logarítmicamente
(específicamente de la forma 𝑦 = 𝐿𝑛(1 + 𝑥 2 )) desde cero en el punto 𝐵 hasta 3.91202 𝑇/𝑚
en el punto 𝐶; la carga puntual de 4𝑇 tiene su puntode aplicación justo a la mitad del
miembro E-C. Considere también que el soporte en 𝐴 está girado de tal forma que su plano
de deslizamiento es perpendicular al miembro A-B.

SOLUCIÓN
VERIFICACIÓN DEL GRADO DE INDETERMINACIÓN
El marco es isostático ya que se cumple la condición 𝑟 + 3𝑚 = 3𝑛 + 𝑐, puesto que: 𝑚 = 3
porque la estructura tiene tres miembros (𝐴 − 𝐵; 𝐵 − 𝐶; 𝐸 − 𝐶), 𝑟 = 3 debido aque en el
1

soporte 𝐴, por ser un rodillo, se genera una fuerza reactiva perpendicular a su plano de
deslizamiento, mientras que el soporte 𝐷 por ser articulado tiene dos incógnitas de reacción
(una horizontal y una vertical), 𝑛 = 4 ya que hay cuatro nodos (𝐴; 𝐵; 𝐶; 𝐸), y 𝑐 = 0 por no
haber condiciones impuestas por la construcción.
CÁLCULO DE LAS REACCIONES EN LOS SOPORTES
Diagrama decargas. Se muestra en la próxima figura. Se han definido en sus cuadrantes
positivos a los ejes 𝑥 y 𝑦 más convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio en la
estructura; en esta ocasión, las columnas son prolongadas hasta su punto de intersección 𝑃𝐼
(más adelante se explicará la razón). Para la carga triangular y la carga con intensidad descrita
por la función logarítmica, debencalcularse su área bajo la curva, respectivamente, además
del centroide de sus áreas correspondientes. Por otra parte, se identifica cada fuerza reactiva
en los soportes suponiendo su sentido arbitrariamente. Es necesario descomponer a la carga
concentrada equivalente 𝑇 𝑟 y a la reacción 𝑅 𝐴 , individualmente, en sus componentes
rectangulares horizontal y vertical.

De la figura anterior, portrigonometría, se deduce que
𝐷´ 6
=
12 5

⟹

𝐷´ =

6(12)
= 14.4𝑚 − 6𝑚 = 8.4𝑚
5

La longitud del miembro inclinado es
𝐿 𝐴−𝐵 = √(5𝑚)2 + (6𝑚)2 = √61m = 7.8102m
Además, se infiere que

2

sin 𝜃2 =

5
√61

; cos 𝜃2 =

6
√61

; tan 𝜃2 =

5
6

A continuación se efectúa un análisis de las cargas distribuidas. Para la carga triangular se
tiene que la carga concentradaequivalente es
(7.8102𝑚)(8𝑇⁄ 𝑚)
𝑇𝑟 =
= 31.241𝑇
2
y su punto de aplicación se localiza a una distancia de
2
𝑥̅1 = (7.8102𝑚) = 5.2068𝑚
3
Las componentes rectangulares horizontal y vertical de la fuerza resultante de la carga
triangular son
5
𝑇 𝑟𝑦 = 𝑇 𝑟 (sin 𝜃2 ) = 31.241𝑇 (
) = 20𝑇
√61
𝑇 𝑟𝑥 = 𝑇 𝑟 (cos 𝜃2 ) = 31.241𝑇 (

6

) = 24𝑇
√61

El área bajo la curva de la carga cuya intensidades descrita por la función logarítmica se
determina con la siguiente ecuación:
𝐿2

𝐴𝑐 = ∫ 𝑑𝐴 = ∫

7

𝑦𝑑𝑥 = ∫ 𝐿𝑛(1 + 𝑥 2 )𝑑𝑥

𝐿1

0

Resolviendo la integral de manera indefinida se tiene
∫ 𝐿𝑛(1 + 𝑥 2 )𝑑𝑥
Sea
𝑢 = 𝐿𝑛 (1 + 𝑥 2 )

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

Entonces
𝑑𝑢 =

2𝑥
1 + 𝑥2

𝑣= 𝑥

Al integrar por partes tendremos

3

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
∫ 𝐿𝑛(1 + 𝑥

2 )𝑑𝑥

2𝑥(𝑥)
𝑥2
2
=...