ejercicio

E JE R C IC IO S . Grupo 31
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Si el punto P i (xi, yi) está sobre !a parte inferior de la rama derecha de
La hipérbola b 2x'¿— a2 y 2 = a2 b 2, demostrar que la recta b x + ay = 0 es una
Asíntota de la rama derecha.
2. Si el p u n t o P i (xi, y i) está sobre la parte superior de la rama izquierda
De la hipérbola b2x 2 — a2 y 2 — a2 b 2,demostrar que la recta b x + ay — 0 es una
Asíntota de la rama izquierda.
3. Demostrar que la hipérbola b 2y 2 — a2x 2 = a2b 2 tiene por asíntotas las
Rectas by — ax = 0 y by + ax = 0.
á. Hallar y trazar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola
4x2 - 5y2 = 7.
5. Hallar los puntos de intersección de la recta 2x — 9y + 12 = 0 con las
Asíntotas de la hipérbola 4 x 2 — 9 y 2 = 11.
6. Hallarla ecuación de la hipérbola que pasa por el p u n t o (3, — 1), su
Centro está en el origen, su eje transverso está sobre el eje X, y una de sus asíntotas es la recta
2x + 3 V/ 2y = 0.
7. Hal la r la ecuación de la h ipér bola que pasa p o r el p u n t o (2, 3) , tiene su
Centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y , y una de sus asíntotas
es la recta 2y — s / 7x = 0.
8.Hal lar la distancia del foco de la derecha de la hip ér bo la 16a:2 —9y2 = 144
a u na cualquiera de sus dos asíntotas.
9. Demostrar que si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares entre
sí, la hipérbola es equilátera.
10. Discutir y trazar la gráfica de la ecuación xy — - 8.
11. Demostrar que la excentricidad de toda hipérbola equilátera es igual
a \ / 2 .
12. Demostrar que elproducto de las distancias de cualquier p u n t o de una
hipér bola equilátera a sus asíntotas es una constante.
13. Hal lar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un p u n t o que se
mueve de tal manera que el p r o d uc t o de sus distancias a dos rectas p er pen di cu ­
lares es siempre igual a una constante.
14. Hallar la ecuación de la hip ér bo la equilátera que pasa p or elp u n t o
( — 1, — 5) y tiene p or asíntotas a los ejes coordenados.
15. Demostrar que la distancia de cualquier p u nt o de una hipérbola equilá­
tera a su centro es media pr opor ciona l entre las longitudes de los radios vectores
del punto. Sugestión: Véase el ejercicio 22 del g ru po 30, A rt íc u lo 65, y el
ejercicio 11 de este grupo.
16. Hallar las coordenadas de los vértices yfocos, y la excentricidad de la
hipérbol a que es conjugada a la que tiene p or ecuación
9 X 2 _ 4 y 2 = 3 6 .
17. Demostrar que dos hipérbolas conjugadas tienen las mismas asíntotas.
18. Demostrar que los focos de un par de hipérbolas conjugadas están sobre
una circunferencia.
19. Demo st r ar que si una hipérbola es equilátera, su hipérbola conjugada
es también equilátera.
20. Laexcentricidad de la hipérbola b 2 x 2 — a2 y 2 = a2 b 2 es ei. Si la ex­
centricidad de su hipérbola conjugada es e2 demostrar que ei : e2 = b : a.
21. Si las excentricidades de dos hipérbolas con jugadas son ci y et, demos­
trar que ei8 + e¡rj = e i 1 ei2.
22. D emo st r ar que la distancia de un foco a una cualquiera de las asíntotas
de una hi pér bola es igual a la l o n g i t ud de su semiejeconjugado.
23. Sí a es el ángul o agudo de inclinación de una asíntota de la hipérbola
b 2 x 2 — a2 y 2 = a2 b 2, demostrar que su excentricidad es igual a sec a.
2i. Demo st rar que si una recta es paralela a u na así ntota de una hipérbola,
corta a la curva solamente en un p u n t o .
25. D emo st r ar que el p ro d uc t o de las distancias de cualquier p u n t o de una
hi pérbol a a susasíntotas es constante.

E JE R C IC IO S . Grupo 32
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Demostr ar el teorema 3 del A rt íc u lo 69.
2. P o r transformación de coordenadas, reducir las dos formas de la segun­
da ecuación ordi nari a a las dos f ormas correspondientes de la primera ecuación
ordinaria de la hipérbola.
3. Si la ecuación de una hip ér bo la está dada en la forma
b...