Ejercicio

Problema. De acuerdo con el
diagrama esquemático de la grúa
representada en la fotografía, la
distancias son AB = 14.71 m, BC =
6.49 m, DC = 19.31 m, a3 = BE = 22.29
m y b3 = CE = 16.02 m. Determinar:
a) Posición de B, C y E para q2 = 49º.
b) Ecuación de la trayectoria del punto
E.
c) Límites de giro de las barras que
sean balancines.
d) Ángulo de transmisión para q2 = 49º
y 132º.Diagrama esquemático de la grúa
a3
b3

1
(Nótese donde se
tomado el origen
coordenadas globales)

ha
de

Solución




R2  R3  R1  R4
a) ecuación de cierre:
r2eiq 2  r3eiq 3  r1eiq1  r4eiq 4



r1  5.302  6.402  8.31m
5.30 
 39.63º
 6.40 

q1  arctan




r1, r2, r3, r4 datos

Dado q2

q2,q3,q4 variables
¿q3,q4?





definimos S  R2  R1

seif  r2eiq 2  r1eiq1

2
s  r2  r12  2r1r2 cos(q1    q 2 ) 

 r senq 2  r1sen(q1   ) 
f  arctan  2
 r cosq  r cos(q   ) 

2

2
1
1

2
s  r2  r12  2r1r2 cos(q1  q 2 ) 

 r2 senq 2  r1senq1  
f  arctan 
 r cosq  r cosq  

2
21
1 

r1  8. 31m 

r2  14. 71m 
q1  39. 63º 


q 2 49º

s  16. 72m

 f  78.8 º

¿s,f?

caso 1



S  R4  R3

if

se  r4e

iq4

 s2  r 2  r 2 
4
3
q 4  f  arccos


2sr4


 s2  r 2  r 2 
3
4
q3  f    arccos


2sr3



 r3e

iq3

¿q3,q4?

2 soluciones

q3 y q4 son funciones de q2 a
través de s(q2) y f(q2)

r3  6. 49m
r4  19. 31m




s  16. 72 m, f 78. 8º


q 4  59. 7º

 q 3  2. 4º
2 soluciones

q 4  97. 9º

q 3  155. 2º

caso 2c

Las dos soluciones son simétricas respecto a DB



R2  r2eiq 2  r2 cos q2  ir2senq2  9.65  i11.10 (m)


ˆ
R2  AB  9.65i  11.10 ˆ (m)
j







R3  r3eiq 3  r3 cos q3  ir3senq3  6.48  i0.27 (m)


 R  BC  6.48i  0.27 ˆ (m)
ˆ
j
3

R4  r4eiq 4  r4 cos q4  ir4 senq4  9.74  i16.67 (m)

 
ˆ

R4  DC  9.74i  16.67 ˆ (m)
j



Posiciones de B y C














ˆ
ˆ
OB  OA AB  5.30 ˆ  (9.65i  11.10 ˆ)  9.65i  16.40 ˆ (m)
j
j
j

ˆ
ˆ
ˆ
OC  OD DC  6.40i  (9.74i  16.67 ˆ)  16.14i  16.67 ˆ (m)
j
j


Posición de E






BE  BC  CE
a3eifB r3eiq3  b3eifC

¿fB,fC?

caso 2c

r3eiq3  a3eifB  b3ei (fC  )

2
2
r3  a3  b32 


f B  q 3  arccos
 2r3 a3 

a3  22. 29m
b3  16. 02 m
r 3  6. 49m

q 3  2. 4º

 r 2  b2  a 2 
3
3
fC  q3    arccos 3


2r3b3



f B  15º 

f C  20.1º

f B  10. 2º 

f C  15. 3º 

2 soluciones

f B  q 3  12. 6º  CTE
f C  q3  17. 7º  CTE

a3eifB  a3 cos fB  ia3senfB  21.53  i5.77 m



ˆ
BE  21.53i  5.77 ˆ m
j



 b3eifC  b3 cos fC  ib3senfC  15.04  i5.51 m



ˆ
CE  15.04i  5.51 ˆ m
j








OE  OB BE






OE  OC CE

x  9.65  21.53  31.18 m
 E

yE  16. 40  5. 77  22.17 m

x E  16.14  15. 04  31.18 m

yE  16. 67 5. 51  22.18 m

posición de E
para q2 =49º

b) Trayectoria de E
2
s  r 2  r1  2r 2 r1 cosq 1  q 2 
2

 r 2 senq 2  r 1senq 1 

f  arctan
r2 cos q 2  r 1 cos q1 


 r 2  a 2  b2 
3
3
fB  q3   arccos 3


2r3a3










OE  OA AB BE

 s2  r 2  r 2 
4
3
q 4  f  arccos


2sr4


 s2  r 2  r 2
3
4
q3  f    arccos


2sr3



 r 2  b2  a 2 
3
3
fC  q3    arccos 3


2r3b3



 xE (q 2 )  r2 cosq 2  a3 cos fB (m)

 y E (q 2 )  5.30  r2 senq 2  a3senfB (m)

Solución gráfica
Vector AB de longitud r2 formado
un ángulo q2 con la horizontal
Circunferencia con centro en D y radio r4
Circunferencia con centro en B y radio r3
Puntos...