Ejercicios Algebra

1. Dados los sistemas de ecuaciones lineales.
a. 2x – y + 3z = 5
4x + y + 2z = -1
-2x -2z = 1
a) Calcula la f.e.r. de su matriz ampliada, A.
2 -1 3 5 -2E1+E2 2 -1 3 5
4 1 2 -1E1+E3 0 3 -4 -11
-2 0 -2 1 0 -1 1 6
2 -1 3 5 -1E3 2 -1 3 5
E2+3E3 0 3 -4 -11 0 3 -4 -11
0 0 -1 7 0 0 1 -7
-2E1+3E2 2 -1 3 5 -1E1+3E3 -2 1 0 -26
0 5 0 -13 0 5 0 -13
0 0 1 -70 0 1 -7
-5E1+1E2 10 0 0 130 E1/10 1 0 0 13
0 5 0 -13 E2/5 0 1 0 -2’6
0 0 1 -7 0 0 1 -7
b) x=13 y=-2’6 z=-7
c) Rango=3

b. 3x + 2y – 3z + t = -8
x + y + 2z –t = 4
x + y +z + 2t = 7

a) 3 2 -3 1 -8 E2-E3 3 2 -3 1 -8
1 1 2 -1 4 1 1 2 -1 4
1 1 1 2 7 0 0 1 -3 -3

-3E2+E1 3 2 -3 1 -8 -3E1+E2 -9 -7 0 1 4
0 -1 -9 4 -20 0 -1 -9 4 -20
0 0 1-3 -3 0 0 1 -3 -3

E2+9E3 -9 -7 0 1 4 E1-7E2 -9 0 0 -160 333
0 -1 0 23 -47 0 -1 0 23 -47
0 0 1 -3 -3 0 0 1-3 -3

E1/-9 1 0 0 17’7 -37
E2/-1 0 1 0 -23 47
0 0 1 -3 -3

b) x = -37 -17λ y = 47 + 23λ z = 3λ -3
c) Rango = 3

5. Dados los subespacios vectoriales de R3
B = {(x,y,z)ϵR3 / x + y = 2z} C = <(1, -1, 1),(3, 4, -2)>
a) Halla la dimensión y escribe una base de B.
Dimensión: 3
Base: x + y – 2z = 0
b) Determina las ecuaciones implícitas de C.

1 -1 1-3E1+E2 1 -1 1
3 4 -2 0 7 -5

(x,y,z) = λ1(1, -1, 1)+ λ2(0, 7, -5)

x = λ1 1 0 x 1 0 x
y = -λ1 + 7λ2 -1 7 y ~ 0 7 y+x ~
z = λ1 -5λ2 1 -5 z 0 5 x-z

1 0 x
0 7 y+x
0 07(x-z)+((y+x)-5)

7x -7z -5y -5x = 0
2x -5y -7z = 0

c) Calcula una base y las ecuaciones de B∩C.

x + y = 2z x +y -2z = 0

Cogemos del apartado b) la ecuación: 2x -5y -7z = 0

2 -5 -7E1-2E2 2 -5 -7 Base B∩C
1 1 -2 0 -2 4

B x + y -2z = 0 Ecuaciones B∩C
C 2x -5y -7z = 0

d) Amplía la base de B a una base de R3.
x + y = 2z
x + y – 2z = 0

1 1 -2
0 1 0
0 0 1

e)...