Ejercicios análisis matemático

Solución ejercicios
Ejercicio 1
Consideremos , , los borelianos del (0,1] y , la medida de Lebesgue.
Definición 1.1. La expansión b-ádica de es la representación , donde es el entero en elconjunto .
Definición 1.2. La función , es el número de veces que aparece el dígito b-dígito a en los primeros n dígitos de la expansión b-ádico del número x.
Esto es , donde es la funcióncaracterística.
Entonces la distribución que sigue en valor de cada dígito, es Bernoulli y son v.a.i.i.d.
Observación 1.3. Se sabe que la suma de n v.a.i.i.d con distribución Bernoulli es otra variablealeatoria con distribución Binomial.
Definición 1.4. Un número es normal en base b, si los dígitos 0,1,…,b-1 aparecen con igual frecuencia en su expansión decimal en su base b, es decir,

Teorema 1.5 Seab una base. Casi todo es normal en base b. Esto es, para cada
b-dígito a,

Demostración.
Sea b una base y a un b-dígito. Por la observación 1.3 tiene distribución Binomial. Luego , aplicandola Ley Fuerte de los Grandes Números se sigue que:

Ejercicio 3

Definición 3.1. Sean y variables aleatorias su covarianza, denotada por , está dada por:

Primero veremos algunas propiedades dela covarianza y algunos resultados con ésta para después demostrar el Teorema.
Lema 3.2. Sean y variables aleatorias, entonces
.
Demostración.
Por linealidad de la esperanza se tiene que,

Elresultado anterior nos deja ver que cuando la covarianza entre dos variables es cero, la esperanza del producto de dichas variables será igual al producto de las varianzas, propiedad que nos será deutilidad en adelante.
Lema 3.3. Si son variables aleatorias con covarianza cero, entonces las variables , tienen también covarianza cero.
Demostración.
Tenemos , y calculemos la covarianza deacuerdo al lema 3.2.

Proposición 3.4. Si son variables aleatorias en con , entonces
Demostración.
Definimos . Entonces por el Lema 3.3 tenemos que es una sucesión de variables aleatorias con si ,...