Ejercicios de analisis matemático

Sucesiones

Ejercicio 1 Calcular los l´ımites de las sucesiones siguientes:


5n3 − 8n2 +3
i) 4n3 + 2n +4
√n2 +1


ii)

4n2 − 3n +4
5n4 + 2n2 − 3
2n +3

iii) √n +1 iv) n + √3 n

√n2 − 3
v) √3 n3 +1 vi)

ln(n4 + 4n3 + 6n2 − 3n + 2)
ln(6n3 + 4n2 − 5n + 7)

√

(
vii)

2n + 3)3 − n3
√


viii)

2n +7

n2 − 2 n5 3n5n − 3n +1

√ √

ix)


5n + 3n + 1

x) 4n − 1 − 3n

√ √

xi)√3 n3 +1 − n xii)

5n +3 − 3n
√ 2 √ 2

xiii)√3 n3 + n2 − √3 n3 − n2 xiv) √

n +1 −

n + n


1

3 n3 +1 − √3 n3 + n2 +1
1

xv)(2 + 3n4 ) 1+2 ln n xvi)(5n3 + 4n − 1) ln(n2 +7n−5)

2n3

xvii) n√2


n2 + n +1 xviii)

n2 +5

n2 + 1 n+1n2

n ln n


xix)

n2 + 3n − 5 n+2
n2 − 4n +2


xx)

ln(n + 1)
ln n


xxi)

1p + 2p + 3p + ••• + np
np+1
n2 + 3n


xxii)


(2n)! 1/n
n!
1+4+7+ ••• + (3n − 2)

xxiii)

2+6+ 10+ ••• + (4n − 2)

xxiv)

5+7+9+ ••• + (2n + 3)


Ejercicio 2 Encontrar, si existe, una fo´rmula para las siguientes sucesiones recurrentes.Decir en cada caso si la sucesion es convergente y si no lo es encontrar una subsucesio´n que lo sea.

i)a1 = 1, an+1 = (−1)n + an ii)a1 = 1, an+1 = −an
an n
iii)a1 = 1, an+1 = − 2 iv)a1 = 1, an+1 = (−1) an
v)a = 1, a = an
1 n+1 n +1

Ejercicio 3 Estudiar si las sucesiones siguientes son convergentes y, en caso afirmativo,
calcular su l´ımite.



i)a1 = √2, an+1 = √an+2 ii)a1 = 1, an+1 = an +

1+ an
1+ 2an

iii)a1 > 0, an+1 = − 2a

an +1
+ 1


iv)a1 = 1, an+1 =

√ a +1

n an +1
1 1
v)a1 = 1, a2 = 2, an+2 = 3 (4an+1 − an) vi)a1 = 2, an+1 = 2 + a
1 1 2

vii)a1 = 2, an+1 = 2+ a

viii)a1 = 0, a2 = 1, an+2 = 3 an+1 + 3 an


Series

Ejercicio 4 Estudiar el cara´cter de las series:


∞ 1
i)1

ii) ( √n

a − 1)p

a > 1, p ∈ IR+

n=1 n1+ n
∞ 1

n=1
∞ 1

iii)
n=1 1+2+ ••• n

iv)
n=2 (log n)(log n)

∞ nlog n

∞ n2

v)
n=1 (log n)n

vii) cos2n( nπ

vi)
n=1 n!
∞
) viii)


nn2


n=2

2n +4


n=1

(n + 1)n2

∞ (n − 1)!


∞ 1 1+


1


ix)
n=1 (1 + 1)(1 +

√2) ••• (1 +√n)


x)
n=3 3

2 +•••+ n−1

∞
xi) (−1)n+1
n=1

√n
n + 100

∞
xii) ( √
n=1

1
+
n(n + 1)

( 1)n
)
n(n + 1)

∞ √2


∞ 1 1

xiii) ( n
n=1

2 1) xiv)
n=1 (log n)log n

(Comparar con )
n2

∞ ∞ (n − 1)!

xv) pnnq , p, q ∈ IR xvi)

√ √

n=1

n=1 (1+ 1)(1+

2) ••• (1 + n)

∞
xvii)1 3
•••

2n − 3 2n − 1

∞
xviii)

(n!)2 4n

n=1 2 4

2n − 2 2n


n=1

(2n)!

∞
xix) (−1)n+1
n=1

3 • 5 • 7 ••• (2n + 1)
= 2 • 5 • 8 ••• (3n − 1)


xx)

∞


n=2

log 2 ••• log n n!


Ejercicio 5 Sumar las series siguientes:

Descomposicio´n en fracciones simples.

∞ 1
i)

∞
ii)

5n − 6

n=1 (2n + 1)(2n + 3)Series telescopicas.

n=3 n3 − 3n2 + 2n


∞
i) √


1
√ ii)

n+2
n+1

n=1 n

n +1+ (n + 1) n

log2 (n + 1) log(n + 2)+ log(n + 1) log2 (n + 2)


Series aritm´etico-geom´etricas.

∞ n +1

∞ 2n +5

i)

ii)


Series de Euler.

n=1 3n

n=1 6n



∞
i)

n2 (n + 1)

∞
ii)

(n − 1)


2n.

n=1n!

n=1 (n + 1)!


Ejercicio 6 Sumar las series siguientes:


∞ n ∞

2n−1

i)
n=1 n4 + n2 +1

ii)
n=1 (1+ 2n)(1 + 2n−1)

∞ log((1 + 1 )n(1 + n))

∞ 3n +2

iii) n
n=2 n log n log(n + 1)n+1

iv)
n=0 5n

∞ 1 ∞

n3 +1

v)
n=p n

vi)
n=1 n!


Continuidad

Ejercicio 7 Demostrar, utilizando...