Ejercicios Bivariada

Dudas y consultas: lbrasdia@uax.es

EJERCICIOS ESTADÍSTICA BIVARIADA
1. EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1.1 En una muestra de 14 personas se determinan los componentes de la sangre X e Y obteniendo los siguientes valores:
X Y 13 9 9 15 9 10 14 8 12 7 13 11 16 13 10 12 14 10 12 10 13 7 14 9 9 10 10 9

Calcular un estadístico que permita expresar la relación existente entre estas estasvariables e interpretarlo. SOLUCIÓN: Conocemos dos estadísticos apropiados para expresar el grado de relación entre variables: estos son la covarianza y el coeficiente de correlación de Pearson. El coeficiente de correlación de Pearson es más fácil de calcular si previamente se ha calculado la covarianza. Ésta se puede calcular recurriendo a la siguiente fórmula: S XY =

∑ XY − ̄ · Y X ̄
N

Esdecir, el producto de las puntuaciones X e Y, dividido por el número total de casos, menos el producto de las medias. Vamos a descomponer esta fórmula paso a paso:

∑ XY
es la suma del producto de las puntuaciones: el primer valor de X por el primero de Y, más el segundo de X por el segundo de Y, etc. hasta el final. Es decir:

∑ XY =13 ·9+9· 15+9 · 10+...+10 · 9=1666
Este valor lo dividimos porel número total de observaciones, N (en este ejercicio 14), para obtener:

∑ XY = 1666 =119
N 14 Ahora queda solamente restar a este valor el producto de las medias de cada variable X e Y. Para lo cual tenemos primero que calcularlas: X ̄ ∑ = 13+9+9+...+10 =12 X= N 14 Y ̄ ∑ = 9+15+10+...+9 =10 Y= N 14 Finalmente, la covarianza nos queda: S XY =119−12 · 10=−1 La covarianza puede adoptarcualquier valor entre -∞ y +∞; el único valor fácilmente

Dudas y consultas: lbrasdia@uax.es interpretable es el de S XY =0 , que implica ausencia de relación lineal entre las variables. Con una covarianza de -1, no podemos saber muy bien cómo interpretarla más allá de decir que la relación entre ambas variables es indirecta: a mayor nivel de X, menor nivel de Y. Pero con la covarianza a secas nopodemos tener ninguna estimación del tamaño de dicha relación. Una forma de resolver este problema es calculando el índice de correlación de Pearson, cuyos valores se encuentran entre -1 y 1. Un valor de -1 o próximo indica una fuerte relación indirecta: a mayor valor en una variable, menor en la otra, y viceversa. Un valor próximo a 1 indica una fuerte relación directa: a más valor en una variable,más en la otra. Y un valor de cero indica lo mismo que la covarianza: ausencia de relación lineal. El coeficiente de correlación de Pearson se puede calcular a partir de la covarianza mediante la siguiente fórmula: r XY = S XY S X · SY

Es decir, la covarianza dividida por el producto de las desviaciones típicas de cada variable. Lógicamente, necesitamos calcular dichas desviaciones típicas parapoder aplicar esta fórmula. Las desviaciones típicas las podemos calcular a su vez a partir de la varianza; la desviación típica no es más que la raíz cuadrada de la varianza: SX=

Como en el caso de la covarianza, vamos a proceder a calcular la desviación típica por partes. Calculamos primero

√

∑ X2 – X2 ̄
N

∑ X2
que es la suma de las puntuaciones de la variable X al cuadrado:

∑ X2 =132+92+92 +...+102=2082
Este valor lo debemos dividir por el total N de observaciones:

∑ X 2 = 2082 =148,7143
N 14 y le restamos la media de X (que hemos calculado ya) al cuadrado: S
2 X

∑ X 2 – X =148,7143−122=4,7143 ̄ =
N

Este valor es la varianza de la variable X. Para calcular la desviación típica, hallamos su raíz cuadrada: S X = √ 4,7143=2,1712 Para calcular la desviacióntípica de Y procedemos de la misma manera. El resultado es: S Y =2,1381 Y por fin estamos en posición de calcular el coeficiente de correlación de Pearson: −1 =−0,2154 ;Lo que nos indica una débil relación negativa entre ambas 2,1712 ·2,1381 variables. r XY =

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2. EJERCICIOS NO RESUELTOS
EJERCICIO 2.1 En podología, se quiere saber si existe alguna relación...