Ejercicios de álgebra lineal

´
Algebra lineal
Prof. Ceballos
1.- Dadas las matrices




1 −1 3
5 ,
A =  3 4
0 1
2
1 2 −1

D =

,




0 2
−1
5 ,
B= 3 0
7 −6 0
E=

0 −2 6

b) (A + B)T − 3C,Calcular: a) A − 2B,
d) (4C − 3B)]T ABDT ,
h) tr(AB − 5E T D),

e) AT D − (3DB)T ,
i) tr(DT D) − 6

,




1 2 −1
C =  4 1 5 ,
0 1 2


1
i
,
F =  4 − 2i 0
0
1+i

c) (C− A)T B − 4B T C,
f ) Dt E + 2A − B T

g) (A − E)C

j) (AF )T − F T B

2.- Calcule la potencia indicada para la matriz dada.
a) A =

−1 2
3
4

b)E =

1
i
1 − i 3i

A4 .

,

E3, E 6 y E 9

,
n

cos α −senα
c)
para n = 2, 3, 4, ... α ∈ . Hint:use indentidades tirgonom´tricas para
e
senα − cos α
simplificar la matriz resultante antes de proceder al siguienteproducto y asi despu´s de realizar
e
cierto n´mero de potencia poder generalizar.
u
d) B =
e) D =

λ 1
0 λ

n

1 i
−i 1

f)

para n ≥ 2. Utilizar la idea del ejercicio anterior.
r

1−i2−i
3 + 2i −2 + i

donde r = 1, 2, 3, ..., 8 , siendo λ real.
4

1

3
1 − i 2i
3
i
−2 + i 
g)  2i
3
−2 + i 0


3.- Demuestre que si



3 −2 1
s =  2 −1 1 
2 2
0
entoncess2 = s
1
−2
−3 4
que satisfaga la ecuaci´n:
o
4.- Sean A =

,

0 1
5 −2

B =

yC =

8
−2
−6 4

determine la matriz X

a) 2X + B= -3A + C, b) 2X + B + C= 0, c) XB-2AC=I
5.-Escriba cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales siguientes en forma de una ecuaci´n
o
matricial AX = b
x + 8y − z = 3
a) 2x + y − 4z = 8
x + 3y − z = −2

4x − y + 3z = 0
b) 2x − 7y + 5z =3
−2x + y − 7z = 4

6.- Simplifique las expresiones matriciales siguientes (todas las matrices son de 2x2):
a) A(A + B) − B(B + A),

b) B(2I − BA) + B(4I + 5A)B − 3BAB + 7B 2 A

Definici´n: Sedice que una matriz cuadrada A es ”idempotente” si A2 = A.Se dice que una
o
matriz cuadrada A es ”nilpotente” si existe un entero positivo p, talque Ap = 0. El grado de
nilpotencia de una...