Ejercicios de algebra

ELIMINACIÓN DE PARENTESIS
Ejemplo: – {8x – [x – 4(3 – x) + 1]} 
= – {8x – [x – 12+ 4x + 1]}  
= – {8x – [ – 11+ 5x]}  
= – {8x + 11– 5x}  
= – 8x - 11 + 5x
= -3x - 11
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Ejemplo 1: Reducir 
 
a)            (3x – 1) + (x + 1) – (2x – 3) + 4  
Eliminando los paréntesis resulta: 
                3x – 1 + x + 1 – 2x + 3 + 4 
Ordenando:                (3x + x – 2x) + (–1 + 3 + 4 + 1) 
Reduciendo, se obtiene finalmente: 
               2x + 7 
Ejemplo2: Reducir  
b)            [2(a – b) – (a + b + 3)] – (2a - 5b + 4) 
Eliminando paréntesis: 
               2a – 2b – a – b – 3 – 2a + 5b – 4  
Ordenando: 
               (2a – a – 2a) + (–2b – b + 5b) + (–3 – 4) 
Reduciendo, se obtiene finalmente: 
               –a + 2b – 7 3x- (5y+ [-2x+ (y- 6+x) - (-x+y)])=

3x- (5y+ [-2x+ y -6 +x - (-x+y)])
Quitando el primer paréntesis () que estan dentro del []
3x- (5y+ [-2x+ y - 6 + x + x - y])
Quitando el segundo paréntesis () que estan dentro del []
3x- (5y -2x+ y - 6 + x + x - y)
quitando el []
3x - 5y + 2x -y +6 - x - x + y
quitando el ()
Ahora una reducción de términos semejantes
3x - 5y + 6
Ynos quedó como resultado


Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomiossemejantes.
P(x) +  Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2        Q(x) = 6x3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x −3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3
P(x) −  Q(x) = 3x2 + x − 3


Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) ·  Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 +8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Ejercicio
Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:
P(x) = 3x4 + 5x3 − 2x + 3 y Q(x) = 2x2 − x + 3
P(x) · Q(x) =(3x4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x2 − x + 3) =
= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3 −
− 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9 =
= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9


Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) :  Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derechasituamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el...