Ejercicios de limites

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

CÁLCULO EN UNA VARIABLE LÍMITES
EJERCICIOS PROPUESTOS

Ing. Ezequiel A. Guamán T. Ing. Hugo Rodríguez Septiembre, 2009

CAPÍTULO PRIMERO: LÍMITES En los ejercicios del 1 al 12, se da f(x), a, L, E. a) b) Utilice una figura para determinar δ > 0: si 0 0

x-1(e-x-1) , x < 0 g(x) = a) b) 4x2(1-cos2x)-1 , x > 0 Determinar loslímites de f y g, si x tiende a cero Hallar: lim[ f ( x ) + g ( x )]
x →0

42.

x →−∞

lim

2x +1 x2 + 2

+ arc. cos( x ) −1

43.

x →−∞

lim ( x 2 + 2 + 2 x )
sen10 x sen5 x
10

44.

lim
x →π

45.

lim
x →0

x + 1 −1 x

46.

x 4 + tan 2 x lim 5 x →0 x + sen 2 x ln(1 + e x ) lim x →−∞ x
2 x − 2 x 2 + 2a 2 lim x →a x− a

47.

48.

Calcular los siguienteslímites:

49. 50. 51. 52.

lim
x →0

x 7 + 5x 6 + 4x3 x7 + 2x3 x 4 − x 3 + x 2 − 3x + 2 x3 − x2 − x +1 1− 3 x 1− 5 x

lim
x →1

lim
x →1

x5 −1 lim 4 x →1 x − 1

53.

1 ⎤ ⎡ 3 lim ⎢ + 3 x →1 1 − x x − 1⎥ ⎣ ⎦
lim
x →0

54. 55.

2 1+ x + x2 − 2 − x x2
5

lim
x →0

2 x 2 + 10 x + 1 − 7 x 2 + 10 x + 1 x
m

56. 57.

1 + ax − n 1 + bx lim x →0 x
lim
x →0

Sen x Sen(6 x) − Sen(7 x )

58. 59.

Tan(1 + x ).Tan(1 − x ) − Tan 2 (1) lim x →0 Tan 2 x
4

lim
x→ x 2

Sen( x ) − 3 Sen( x ) Cos 2 ( x )

60. 61.

lim

10 x − 1 x →0 2 x − 1 3− 5+ x 1− 5 − x
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 x2 − 4x + 3

lim
x →4

62 63 64

lim
x →3

lim
x →0

1 − Cos ( x ) x2

lim
x→

π

4

Sen( x ) − Cos( x ) 1 − Tan( x )

65 66. 67. 68.

⎛1⎞ lim xSen⎜ ⎟x →∞ ⎝ x⎠ ⎛π x ⎞ lim (1 − x )Tan⎜ ⎟ x →1 ⎝ 2 ⎠ lim
x →0

Tan( x ) − Sen( x ) x3 Cos (mx ) − Cos (nx ) x2

lim
x →0

69.

lim
x →a

x − Sen(2 x ) x + Sen(3 x )

70.

⎛ ln 1 + x ⎞ ⎟ lim ⎜ x →0 ⎜ x 1− x ⎟ ⎝ ⎠

71. 72.

lim n n a − 1 ; a > 0
x →∞

(

)

⎛1− e−x lim⎜ x →0 ⎜ senx ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

73.

lim

x →∞

( x + 1) 2 (3 − 7 x ) 2 (2 x − 1) 4

74. 75.

x → −∞lim

[x

2

+ 8x + 3 − x 2 + 4x + 3

]

(1 + x 11 + 7 x 13 ) 3 lim x →∞ (1 + x 4)10
3

1+

76.

lim

x →∞

4 4 3 − 1+ x x 5 1− 5 1− x

77.

lim

x x+ x+ x
2

x →∞

78. 79. 80. 81. 82. 83.

lim

[ x − 5x + 6 − x] lim x ( x + 1 − x ) lim (x + 1 − x )
x →∞ 2 x →∞ 3 2 x →∞ 3 x →0

lim lim

1 + x − 1 − senx ln (1 + x )

log x − 1 x →10 x − 10
lim
x →0ln 1 + x + x 2 + arcSen(3 x ) − 5 x 3 sen(2 x ) + tan 2 x + e x − 1

(

)

(

)

5

84.

Sea la función real f, definida por: -x2+1, x < 2 f(x) = 1,x = 2 ⏐x-2⏐, x > 2 a) b) Calcular los límites laterales cuando x → 2 Existe el lim f ( x ) ?
x→ 2

85.

Sea la función real f, definida por: 1-x, 1 ≤ x < 3 f(x)= x2, x=3 -x2+2x+1, x > 3 a) b) Calcular los límites laterales cuando x→ 3 Existe el lim f ( x ) ?
x→3

86.

Si f(x) =

x2 −1 x −1

Hallar: a) lim x →1+ f ( x ) b) lim x→1− f (x ) c) ¿ ∃ lim x →1 f (x )?

87.

⎧x 2 + a f ( x) = ⎨ Si ⎩ x+b

si x ≥ 1⎫ ⎬ si x < 1⎭

Hallar la relación entre a y b tal que ∃ lim x →1 f (x )

88.

⎧2 x − a si x < −3 ⎫ ⎪ ⎪ Sea f ( x) = ⎨ax + b si - 3 ≤ x ≤ 3⎬ ⎪ ⎪b − 5 x si x > 3 ⎭ ⎩

Hallar a y b tal que:

∃ lim f ( x) ∧ ∃ lim f ( x )
x →-3 x→3

89.

⎧ ⎫ ⎪2 x 2 + a si x < 0 ⎪ ⎪ ⎪ Sea f ( x) = ⎨ax + 3 si 0 ≤ x < 2⎬ ⎪ 3b − x ⎪ ⎪ si x ≥ 2 ⎪ ⎩ x −1 ⎭
Hallar a y b tal que: ∃ lim x → 0 f ( x ) Λ ∃ lim x →2 f ( x )

90.

Determine f(0) para que f sea continua en x = 0

(cos x ) csc x ,0 < x <
f(x) =

π
2

e senx − e − senx ,x 0 2x
92. Determinar los valores de a y b para que la función seacontinua en x=-1

⎛ 1 ⎞ . cos⎜ ⎟, x < −1 − x −1 ⎝ x +1⎠
f(x) = b+1 , x=-1

x +1

[2 + x ](
93.

x + 2 ) −1

+ a, x > −1

Analizar la continuidad en R de la siguiente función:

94.

x −1 4 x 4 −1 Analizar la continuidad en x = 0, de f ( x) =
3

2 ⎛1⎞ x.e − x . cos⎜ ⎟, x > 0 ⎝ x⎠

f(x) =

x 2 − x, x ≤ 0
95. Analizar la continuidad de f en x = 0: x2 + bcosx, x ≤ 0 f(x) =...