Limites (ejercicios)
Tema 2 límites
Ejercicios resueltos
4.2-1 Resolver los siguientes límites:
x3 1
;
x 1 x 2 1
b) lim
d)
lim
x 0
x 5
;
x 2 25
e) lim
a) lim
x2 2x
;
x2 4 x 4
x 5
x2 2
;
x
x 2
x 1 2
;
x 3
c ) lim
x 3
f ) lim
x h 3 x 3
h
h 0
Solución
x3 1
0
indeterminación de la forma .2
x 1 x 1
0
descomponemos
en
factores
numerador
y
simplificamos y por último sustituimos x por -1:
Para
a) lim
evitarla,
denominador,
x 1 x 2 x 1
x3 1
x2 x 1
3
lim
lim
lim 2
x 1 x 1
x 1
x 1
x 1
2
x 1 x 1
x 5
0
indeterminación de la forma . Para evitarla,
2
x 5 x 25
0
descomponemos
enfactores
numerador
y
denominador,
simplificamos y por último sustituimos x por 5:
b) lim
lim
x 5
x 5
x 5
1
1
lim
lim
2
x 25 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 10
x 1 2
0
indeterminación de la forma . Para evitarla,
x 3
x 3
0
racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x por 3:
c) lim
lim
x 3
x 1 2
lim
x 3
x 3
limx 3
G3w
x 1 2
x 3
x 1 2
x 1 2
x 3
x 3
Conocimientos básicos de Matemáticas.
x 1 2
lim
x 3
lim
x 3
x 1 4
x 3
1
x 1 2
x 1 2
1
4
Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA-Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 1
x 2 2
0
indeterminación de la forma . Para evitarla,
x
0
racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x por 0:
d) lim
x 0
lim
x 0
x 2 2
lim
x 0
x
lim
x 0
x2 2
x
x
x 2 2
x 2 2
x 22
x 2 2
lim
x 0
1
1
2
4
x2 2 2 2
x2 2x
0
indeterminación de la forma . Para evitarla,
2
x 2 x 4 x 4
0
descomponemos
en
factores
numerador
y
denominador,
simplificamos y por último sustituimos x por 2:
e) lim
lim
x 2
x x 2
x2 2x
x
lim
lim
2
2
x 2
x 2 x 2
x 4x 4
x 2
3
x h x3
0
indeterminación de la forma . Paraevitarla,
h 0
h
0
realizamos las operaciones que se nos indica en el numerador,
simplificamos y por último sustituimos h por 0:
f) lim
lim
3
x h x3
h 0
4.2-2 Resolver:
h
x 3 3 x 2 h 3 xh2 h 3 x 3
h 0
h
3 x 2 h 3 xh2 h3
lim
lim 3 x 2 3 xh h 2 3x 2
h 0
h 0
h
lim
lim
x
2x 3
x3 x
Solución
Indeterminación dela forma
. Para evitarla, dividimos numerador y
denominador por x :
2x 3
3
2
2x 3
x 2
lim
lim x3 lim
3
x x 3 x
x x
x
x
x
1
x
x
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos2
3
lim x 0
x
3
lim x lim 3 x lim 3 1 0
x
x x
x 3 x x 2
4.2-3 Resolver:
lim x
x
x2 1 x
Solución
. Para evitarla, en primer lugar
Indeterminación de la forma
racionalizamos:
lim x
x
2
x 1 x lim
x
x2 1 x
x
lim
x
x2 1 x
x x2 1 x2
x2 1 x
x2 1 x
lim
x
x
x2 1 x
En la última expresión dividimos numerador y denominador por x, con lo
cual obtenemos:
lim
x
x
1
1
x
lim
x
2
2
1
x 1 x
1 2 1
x
x
4.2-4 Resolver:
lim
x
x
x x x
Solución
Indeterminación de la...
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