Ejercicios de olimpiadas de Matematicas 1989-2011

Problemas De Las Olimpiadas

IV Olimpíada Iberoamericana de Matemática
La Habana, Cuba
8 al 16 de abril de 1989

Problema 1
Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones siguiente:
x + y - z =-1
x2 - k2 + z2=1
-x3 + y3 + z3=-1
Problema 2
Sean x, y, z tres números reales tales que 0 x y z (/2). Demostrar la desigualdad:
(/2) + 2sen(x).cos(y)+ 2sen(y).cos(z) sen(2x) + sen(2y) + sen(2z)
Problema 3
Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:

Problema 4
La circunferencia inscrita en el triángulo ABC, es tangente a los lados AB y AC en los puntos M y N, respectivamente. Las bisectrices de A y B intersecan a MN en los puntos P y Q, respectivamente. Sea O el incentro del triángulo ABC.
Probar que:MP.OA=BC.OQ
Problema 5
Sea la función f definida sobre el conjunto {1; 2; 3; ... }
i. f(1)=1
ii. f(2n + 1)=f(2n) +1
iii. f(2n)=3f(n)
Determinar el conjunto de valores que toma f.
Problema 6
Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación: 2x2 - 3x=3y2
 
 
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Problemas
V Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Valladolid, España
22 al 30 de septiembre de 1990

Problema 1
Sea f una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:
i. Si n=2j -1, para n=0, 1, 2, ... , entonces f(n)=0
ii. Si n2j -1, para n=0, 1, 2,... , entonces f(n+1)=f(n)-1.
a. Demostrar que para todo entero n, mayor o igual que cero, existe un entero k, mayor que cero, tal que:
f(n) + n =2k - 1.
b. Calcular f (21990).
Problema 2
En un triángulo ABC, sean I el centro de la circunferencia inscrita y D, E y F sus puntos de tangencia con los lados BC, AC y AB, respectivamente. Sea P el otro punto de intersección de la recta AD con lacircunferencia inscrita.
Si M es el punto medio de EF, demostrar que los cuatro puntos P, I, M y D pertenecen a una misma circunferencia.
Problema 3
Sea f(x)=(x + b)2-c, un polinomio con b y c números enteros.
a. Si p es un número primo tal que p divide a c y p2 no divide a c, demostrar que, cuaslquiera que sea el número entero n, p2 no divide a f(n).
b. Sea q un número primo, distinto de2, que divide a c. Si q divide a f(n) para algún número entero n, demostrar que para cada entero positivo r existe un número entero n' tal que qr divide a f(n').
Problema 4
Sean: C1 una circunferencia, AB uno de sus diámetros, t su tangente en B y M un punto de C1 distinto de A.
Se construye una circunferencia C2 tangente a C1 en M y a la recta t.
a. Determinar el punto P de tangencia de ty C2 y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias al variar M.
b. Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias C2.
NOTA: Dos circunferencias son ortogonales si se cortan y las tangentes respectivas en los puntos de intersección son perpendiculares.
Problema 5
Sean A y B vértices opuestos de un tablero cuadriculado de n por n casillas(n  1), a cada una de las cuales se añade su diagonal de dirección AB, formándose así 2n2 triángulos iguales. Se mueven una ficha recorriendo un camino que va desde A hasta B formado por segmentos del tablero, y se coloca, cada vez que se recorre, una semilla en cada uno de los triángulos que admite ese segmento como lado. El camino se recorre de tal forma que no se pasa por ningún segmento más deuna vez, y se observa, después de recorrido, que hay exactamente dos semillas en cada uno de los 2n2 triángulos del tablero. ¿Para qué valores de n es posible esta situación?
Problema 6
Sea f(x) un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de f es tangente al eje x, entonces f(x) tiene sus 3 raíces racionales.
 
 
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