Ejercicios Economia Matematica

1. Un estudiante pobre tiene un trabajo de medio tiempo parcial en un
restaurante, por el que cobra 8 euros por hora. su función de utilidad
para I euros y emplear S horas estudiando es:

U (I , S )  I

1

4

S

3

4

Donde I es el número de uros que gana y S son las horas que estudia
La cantidad total de horas que el emplea semanalmente tanto en trabajar en el
restaurante,como en estudiar es de máximo 100. ¿Como debe dividir su
tiempo para maximizar su utilidad?
SOLUCION
S
100

I

80

max U ( I , S )  I
S.A

1

4

S

3

4

I
 S  100
8

Planteamos el lagrangiano

( I , S ,  )  I

1

4

S

3

4

I

    S  100 
8


Condiciones de primer orden


1 3 4 3 4


I
S

0
I
4
8

(1)


3
I
S
4

( 2)

1

4

S

1

4

 0


I

 S  100  0

8

(3)

De (1), tenemos:

1 3 4 3 4

I
S

4
8

2I

3

4

S

3

4



( 4)

De (2), tenemos:

3
I
4

1

4

S

1

4



(5)

Igualando (4) y (5)

2I
S
S

3

3

4

S

S

3

4



3
I
4

1

4

S

1

4

1

4

1

43I 4

8 I 3 4

3
I
8

(6)

Reemplazando (6) en (3), tenemos:

I
3
 I  100
88
4
I  100  I  200
8
El estudiante gana dos ciento euros
Reemplazando (7) en (6) tenemos:

S

3
200  S  75
8

El estudiante dedica al estudio 75 horas.

(7 )

Conclusión
Para que la utilidad del estudiante sea máxima él debe trabajar 25 horas en el
restaurante y estudiar 75 horas2. Jorge es un estudiante recién graduado que divide su tiempo durante la
semana entre un proyecto de investigación que está llevando a cabo y la
impartición de clases de matemáticas para economistas. el mismo cree
que su función de utilidad para ganar w euros dando clases y el empleo
de R horas en su investigación es:

U (W , R)  W

3

4

R

1

4

Por cada hora de clase gana16 euros y trabaja a lo más 46 horas a la semana
¿como debería dividir su tiempo para maximizar su utilidad?

max U (W , R )  W
W
S.A
 R  46
16

3

4

R

1

4

W
640

R

40

Planteamos el lagrangiano

 (W , R,  )  W

3

4

R

1

4

W

 
 R  46 
 16


Condiciones de primer orden
1
1

3

 W 4R 4 
0
W
4
16

(1)

1
W
R
4

( 2)

3

4

R

3

4

  0


W

 R  46  0

16

(3)

De (1), tenemos:
1
1
3

W 4R 4 
4
16
1
1
3

W 4R 4 
4
16

1

12W

4

R

1

4



( 4)



(5)

De (2), tenemos:

1
W
4

3

4

R

3

4

Igualando (4) y (5)
1

12W
R
R

1

R

R

1

4



1
W
4

3

4

R

34

3

4

3

4

4

1W4

48 W 1 4

1
W
48

(6)

Reemplazando (6) en (3), tenemos:

W
1

W  46
16
48
1
W  46  W  552
12
El estudiante gana dos ciento euros
Reemplazando (7) en (6) tenemos:

R

1
552  R  11.5
48

El estudiante da 11.5 horas de clases

(7 )

Conclusión
Para maximizar su utilidad Jorge debe dar 30 horas de clase y emplear 11.5horas en su investigación.

3. una empresa produce tres bienes en cantidades X,Y y Z, con una
función de beneficio

 X , Y , Z    X 2  6 X  Y 2  2YZ  6Y  4Z 2  8Z  14
Hallar las cantidades que maximizan el beneficio si se tienen las restricciones
tecnológicas siguientes:
a) 0  X  4;0  Y  6;0  Z  3
b) 0  X  2;0  Y  5;0  Z  2

SOLUCION a)
z
3
6

Y

4
xCondiciones de primer orden


 2 X  6  0  2 X  6  X  3
X

(1)


 2Y  2Z  6  0
Y

( 2)


 2Y  8Z  8
Z

(3)

Sumando (2) y (3)

 2Y  2 Z  6  0
2Y  8Z  8  0

 6Z  14  0  Z  7 3

( 4)

Reemplazando (4) en (3)

2Y  8 7

32
16
 8  2Y 
Y 
3
3
3

(5)

Para maximizar el beneficio se deben producir 3 unidades de X,...