Ejercicios Espacios Vectoriales

Enunciado 1

Dado el espacio vectorial R2, una base del mismo (e1, e2) y la de su dual , se introduce un cambio de base en la siguiente forma:

Obtener la base dual de (v, w) en función de la .

Ver Solución.

Dado el espacio vectorial R2, una base del mismo (e1, e2) y la de su dual , se introduce un cambio de base en la siguiente forma:

Obtener la base dual de (v, w) en función dela .

RESPUESTA DEL EJERCICIO 1

Para obtener la base dual de la dada tenemos:

y análogamente:

Se comprueba que la matriz de paso de  a  es la inversa de la matriz de paso de (e1, e2) a (v,w).

Enunciado 2 

Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera de R2, en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones lineales:

Estudiar si forman una base del dual de R2 y hallar la base deR2 de la que son dual.

Ver Solución.

Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera de R2, en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones lineales:

Estudiar si forman una base del dual de R2 y hallar la base de R2 de la que son dual.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 2

Para saber si las aplicaciones dadas forman una base del dual de R2, comprobamos que son linealmente independientes. Tenemos:Reagrupando términos:

Para obtener la base de R2 de la que son dual hacemos como en el ejercicio número 2:

y análogamente:

con lo que tendremos: v1 = (1, -1) y v2 = (-1, 2).

Enunciado 3 

Sea la aplicación t : R3 → R2 definida en bases canónicas por :

Obtener la matriz de la aplicación t en bases canónicas.

Ver Solución.

Sea la aplicación t : R3 → R2 definida en basescanónicas por :

Obtener la matriz de la aplicación t en bases canónicas.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 3

Observamos, en primer lugar que el núcleo de t ha de tener dimensión 2 puesto que viene dado por una sola ecuación y se ha de cumplir la relación: 

Dim R3 – Dim núcleo de t = número de ecuaciones cartesianas que definen a núcleo de t
Según eso, podemos tomar dos vectores tales que suscoordenadas cumplan x1 + x2 = 0 y formar con ellos una base de núcleo de t. Sean, por ejemplo los vectores (1, -1, 1) y (1, -1, 2). Puesto que la aplicación está definida en bases canónicas, podemos escribir:

Operando con las ecuaciones resultantes podemos obtener:

y la matriz de la aplicación en las bases canónicas será:

Enunciado 4

Un endomorfismo de R3 en las bases canónicas viene dado porla matriz:

Obtener la matriz referida a la base (1,1, 2), (0, 2, 1), (0, 0, 5)

Ver Solución.

Un endomorfismo de R3 en las bases canónicas viene dado por la matriz:

Obtener la matriz referida a la base (1,1, 2), (0, 2, 1), (0, 0, 5)

RESPUESTA DEL EJERCICIO 4

La matriz de un endomorfismo depende de la base elegida, es decir, que si un operador tiene una matriz T en la base (e1,e2, …, en) entonces su matriz en otra base (u1, u2, …, un) es S-1.T.S, siendo S una matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la nueva base respecto de la antigua. En nuestro caso, la matriz T viene dada respecto a la base canónica, por lo que tendremos:

Ya partir de ahí :

Enunciado 5

Sea  su aplicación dual. Demostrar:

a) f es inyectiva si y solo si f t es exhaustivab) f es exhaustiva si y solo si f t es inyectiva.

Ver Solución.
Sea  su aplicación dual. Demostrar:

a) f es inyectiva si y solo si f t es exhaustiva
b) f es exhaustiva si y solo si f t es inyectiva.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 5

a) Demostramos que si f es inyectiva entonces f t es exhaustiva. El que f sea inyectiva equivale a decir que núcleo de f = {0}, con lo cual:

pero, por ladefinición de anulador de un subespacio H de E, sabemos que se tiene:

por lo que resultará:

Demostrar que si ft es exhaustiva entonces f es inyectiva puede hacerse análogamente.

b) Demostramos que si f es exhaustiva entonces ft es inyectiva. Si f es exhaustiva se tiene Im f = F y podemos poner:

pero se tiene que por lo que resulta:

Para demostrar el recíproco se hace de forma...