Ejercicios Espacios Vectoriales Enero 2015

EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES

1.

{(4, −1, 0), (2,1, −3)} ,

Dados los vectores de ℝ

exprese, si se puede, los

siguientes vectores como combinación lineal de ellos.
a)

(14,1,-9)

b)(0,3,-6)

2. Estudie la dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores de ℝ :
a)

{(1, 2, −4, 0), (−2, 4, −8, 0), (2, 3, 0,1)}

b)

{(1, 2, −4, 0), (2, 4,8, 0), (4,8, 0, 0)}

c)

{(2, 0,3, 0),(0,1, −3, 0), (1, −2, 0,8)}

3.
De los conjuntos de vectores anteriores extraiga el máximo número de
vectores linealmente independientes. ¿En algún caso disponemos de un Sistema
Generador de ℝ ?

4.Calcule para qué valores del parámetro a los siguientes vectores forman base
de ℝ
a)
b)

{(2, a,1), (a,1, 0), (1, 2, 0)}
{(2, a,1), (a,1, −1), (2, 2, 0)}

c)
En los casos anteriores, ¿es posibleobtener un sistema generador añadiendo
un cuarto vector de ℝ como combinación lineal de los disponibles?

5.

Dado el conjunto de vectores

v1 = (2, 0, 2,9), v2 = (1, 2,1,3), v3 = (1, 0,1, 3), v4 = (2, 4,2, 6)
a) Justifique si puede afirmarse que
espacio

vectorial

generador de

{v1 , v2 , v3 , v4 } forman

una base del

4

R . Análogamente razónese si es un sistema

4

R .

b) Calcule a y b para queel vector (0,1, a , b ) pertenezca al subespacio
generado por los vectores

6.

Dados los vectores
a)

{v1 , v2 , v3 , v4 } .

v1 = (1, 2, a,1), v2 = (a,1, 2,3), v3 = (0,1, b, 0)

Determine a y bpara que los tres vectores sean linealmente

dependientes

EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES

b)

Teniendo a y b los valores encontrados en a), determine las ecuaciones

del subespacio generado por lostres vectores

7.

Dados los vectores

{(0, −1, 2, −1), (a, −1, 0,1), (1, −1, b, 0)} , calcule a y b para

que generen un subespacio de dimensión dos y encuentre las ecuaciones de dicho
subespacio8.

¿Es posible hablar de un subespacio vectorial de dimensión 3 dentro del

espacio vectorial

9.

ℝ3 ?. Justifique la respuesta.



1
5

Dado el subespacio S = (1, −5, 0) (0, 0,1) (0, 0, 0) (...