Ejercicios Estadistica

PROBABILIDAD
Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales
Francisco Álvarez González
francisco.alvarez@uca.es

REPASO DE COMBINATORIA
VARIACIONES ORDINARIAS
Características :
No se pueden repetir los elementos
El orden de colocación de los elementos tiene influencia.
VARIACIONES CON REPETICIÓN
Características :

Vn, p =

Número :

VRn, p = n p

Número :

⎛n⎞
n!
Cn, p = ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝p ⎠ p!.(n − p )!

Se pueden repetir los elementos
El orden de colocación de los elementos tiene influencia.
COMBINACIONES ORDINARIAS
Características :
No se pueden repetir los elementos
El orden de colocación de los elementos no influye.

n!
(n − p )!

Número :

NOTA : Factorial de un número n = n! = n.(n-1).(n-2). ... . 2 . 1
5! = 5.4.3.2.1 = 120
0! = 1

SUCESOS ALEATORIOS
EXPERIENCIA ALEATORIAes aquella que no está sometida a una ley concreta. Su ocurrencia sólo depende del azar.
ESPACIO MUESTRAL (E) es el conjunto de las posibles ocurrencias (sucesos elementales) de una experiencia
aleatoria.
SUCESO ALEATORIO es cualquier subconjunto o parte del espacio muestral.
OPERACIONES :
UNIÓN DE SUCESOS
A∪B
AoB
INTERSECCIÓN DE SUCESOS
A∩B
AyB
SUCESO CONTRARIO
A
no A
SUCESOS ESPECIALES :
SUCESOSEGURO
E
siempre se verifica
SUCESO IMPOSIBLE
φ
nunca se verifica
SUCESOS COMPATIBLES
A∩B≠φ
tienen algo en común
SUCESOS INCOMPATIBLES
A∩B=φ
no tienen nada en común
EJEMPLO :
Lanzar un dado es una experiencia aleatoria (nunca podremos asegurar el valor que se obtiene al lanzarlo). El conjunto
de las posibles ejecuciones constituye el espacio muestral E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } .
A ∪ B = { 2 , 3 , 4,6 }
A = { salga cifra par } = { 2 , 4 , 6 }
A∩B={6}
B = { ser múltiplo de 3 } = { 3 , 6 }
A = { salga cifra impar } = { 1 , 3 , 5 }
C = { ser múltiplo de 5 } = { 5 }
A y B son compatibles A ∩ B = { 3 } ≠ φ
A y C son incompatibles A ∩ C = φ

PROBABILIDAD
DEFINICIÓN :
Probabilidad es una ley que asocia a cada suceso un valor numérico, sometida a las siguientes condiciones :
1ª
La probabilidadsiempre estará comprendida entre 0 y 1 :
0 ≤ Pr(A) ≤ 1
2ª
La probabilidad del suceso seguro es igual a 1 :
Pr(E) = 1
3ª
Axioma de probabilidades totales :
Si dos sucesos A y B son incompatibles ( A ∩ B = φ ) , se verifica que Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B)
PROPIEDADES ELEMENTALES :
I.
Pr (A) = 1 - Pr( A )
II.
La probabilidad del suceso imposible es igual a 0 :

Pr(φ) = 0
Probabilidad (F. Álvarez) - 1REGLA DE LAPLACE :
La probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de situaciones en que puede presentarse dicho
suceso y el número total de situaciones posibles.
TEOREMA DE PROBABILIDADES TOTALES :
Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A ∩ B)
Generalizando :

Pr( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ ... ) =

∑ Pr( A ) − ∑ Pr( A
i

i

∪ Aj ) +

∑ Pr( A

i

∪ A j ∪ A k ) − ...

Así, por ejemplo :
Pr(A∪B∪C∪D) =
Pr(A)+ Pr(B) + Pr(C) + Pr(D) - Pr(A∩B) - Pr(A∩C) - Pr(A∩D) - Pr(B∩C) - Pr(B∩D) - Pr(C∩D) +
+ Pr (A∩B∩C) + Pr (A∩B∩D) + Pr(A∩C∩D) + Pr(B∩C∩D) - Pr(A∩B∩C∩D)
PROBABILIDAD CONDICIONADA. TEOREMA DE PROBABILIDADES COMPUESTAS :
B/A = suceso B condicionado al A ( ocurrir B habiendo ocurrido A ).

Pr( B / A ) =
Generalizando :

Pr( A ∩ B )
Pr( A )

Pr( A ∩ B ) = Pr( A ).Pr( B / A )

Pr( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ ... )= Pr( A 1 ).Pr( A 2 / A 1 ).Pr( A 3 / A 1 ∩ A 2 ). ...

TEOREMA DE BAYES :
Sean n causas independientes Ai con probabilidades
Pr(Ai) conocidas y sea B un suceso que puede
presentarse en cada una de ellas, siendo conocidas las
probabilidades Pr(B/Ai).
Se verifica entonces que :

Pr( A k / B ) =

Pr( A k ).Pr( B / A k )
n

∑ Pr( A ).Pr( B / A )
i

i=1

2 - Probabilidad (F. Álvarez)

i

EJERCICIOSRESUELTOS
1
Al extraer al azar una ficha del juego del dominó, calcular la probabilidad de que sume un número de
puntos múltiplo de 3.
En situaciones como la presente nos vemos obligados a desarrollar el espacio muestral, contando, posteriormente, las
situaciones que se ajustan al problema (casos favorables).

Probabilidad
múltiplo de 3
0'32143

de
sumar
= 9 / 28 =

2
Al lanzar al aire cuatro...