Ejercicios Geometria Y Trigonometria

EJERCICIOS
1. Calcula sin hacer uso de la calculadora el seno, el coseno, y la tangente de los siguientes ángulos.
a) 75°
sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°
sin75°=1232+1212
sin75°= 1+322
cos45°+30°=cos45°cos30°-sin45°sin30°
cos75°=1232-1212
cos(75°)= -1+322
tan45°+30°= tan45°+tan30°1-tan45°tan30°
tan75°=1+131-113
tan(75°)= 1+3-1+3
b) 15°sin45°-30°=sin45°cos30°-cos45°sin30°
sin15°=1232-1212
sin15°= -1+322
cos45°-30°=cos45°cos30°+sin45°sin30°
cos15°=1232+1212
cos(15°)= 1+322
tan45°-30°= tan45°-tan30°1+tan45°tan30°
tan15°=1-131+113
tan(15°)= -1+31+3
c) 105°
sin45°+60°=sin45°cos60°+cos45°sin60°
sin105°=1212+1232
sin105°= 1+322
cos45°+60°=cos45°cos60°-sin45°sin60°
cos105°=1212-1232
cos(105°)= 1-322
tan45°+60°= tan45°+tan60°1-tan45°tan60°
tan105°=1+31-13tan(105°)= 1+31-3

d) 165°
sin180°-15°=sin180°cos15°+cos180°sin15°
sin165°=01+322+-1-1+322
sin165°= 1-322
cos180°-15°=cos180°cos15°+sin180°sin15°
cos165°=-11+322+0-1+322
cos(165°)= -1-322
tan180°-15°= tan180°-tan15°1-tan180°tan15°
tan165°=0+-1+31+31-0-1+31+3
tan(165°)= -1+31+3
e) 285°
sin270°+15°=sin270°cos15°+cos270°sin15°
sin285°=-11+322+0-1+322
sin285°= -1-322cos270°+15°=cos270°cos15°-sin270°sin15°
cos285°=01+322--1-1+322
cos(285°)= -1+322
tan270°+15°= tan270°+tan15°1-tan180°tan15°

2. Simplifica las siguientes expresiones
a) sen (π/4 + α) + cos (π/4 - α)
sinπ4+α+cosπ4-α=sin45°cosα+cos45°sinα+cos45°cosα+sin45°sinα
sinπ4+α+cosπ4+α=12cosα+12sinα+12cosα+12sinα
sinπ4+α+cosπ4+α=22(cosα+sinα)
b) 2 cos (π/6 - β) – sen (π/6 + β)2cosπ6-β+sinπ6+β=2(cos30°cosβ+sin30°sinβ)+sin30°cosβ+cos30°sinβ
2cosπ6-β+sinπ6+β=3cosβ+(1)sinβ+32cosβ-12sinβ
2cosπ6-β+sinπ6+β=33+12cosβ+sinβ
c) tan (π/4 + α) – tan (π/4 - α)
tanπ4+α-tanπ4-α=tan45°+tanα1-tan45°tanα-tan45°-tanα1+tan45°tanα
tanπ4+α-tanπ4-α=1+tanα1-(1)tanα-1-tanα1+(1)tanα
tanπ4+α-tanπ4-α=(1+tanα)2-(1-tanα)21-(tanα)2
tanπ4+α-tanπ4-α=4tanα1-(tanα)2

3. Demuestra la validez de las siguientesigualdades
a) sen (π/4 + x) = (√2/2)(cos x + sen x)
sinπ4+x=sin45°cosx+cos45°sinx
sinπ4+x=12cosx+12sinx
sinπ4+α=22(cosx+sinx)
b) cos (60° + x) = (1/2)(cos x – √3 sen x)
cos60°+x=cos60°cosx-sin60°sinx
cos60°+x=12cosx-32sinx
cos(60°+x)= 12cosx-3sinx
c) tan (45° - x) = (1 – tan x) / (1 + tan x)
tan45°-x=tan45°-tanx1+tan45°tanx
tan45°-x=1-tanx1+tanx

4. Si sen β= 3/5 y cos α= 12/13,0° < α; β > 0°, halla:
a) sen (α + β)
sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ
sinα+β=51345+121335
sinα+β=2065+3665=20+3665=5665
sinα+β=5665
b) sen (α - β)
sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ
sinα-β=51345-121335
sinα-β=2065-3665=20-3665=-1665
sinα-β=-1665
c) cos (α + β)
cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ
cosα+β=121345-51335
cosα+β=4865-1565=48-1565=3365
cosα+β=3365
d) cos (α - β)cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ
cosα-β=121345+51335
cosα-β=4865+1565=48+1565=6365
cosα-β=6365
e) tan (α + β)
tanα+β= tanα+tanβ1-tanαtanβ
tanα+β= 512+341-51234=761-516=761116
tanα+β= 5633
f) tan (α - β)
tanα-β= tanα-tanβ1+tanαtanβ
tanα-β= 512-341+51234=-131+516=-132116
tanα-β=- 1663
5. Simplifica:
a) (tan (5π/12) – tan π/12) / (1 + tan (5π/12)tan π/12)
tan5π12-tanπ121+tan5π12tanπ12=tan5π12-π12=tanπ3tan60°=3
b) (sen π/10 cos (3π/20) + cos π/10 sen (3π/20)) / (cos π/10 cos 3π/20 – sen π/10 sen (3π/20))
sinπ10cos3π20+cosπ10sin3π20cosπ10cos3π20-sinπ10sin3π20=sinπ10+3π20cosπ10+3π20=sin5π20cos5π20=tanπ4
tan45°=1

6. Prueba que las siguientes igualdades son ciertas.
a) sen (x + y) sen (x – y) = sen2 x – sen2 y
sinx+ysinx-y=(sinxcosy+sinycosx)(sinxcosy-sinycosx)
sinx+ysinx-y=sin2xcos2y-sinxsinycosxcosy+sinxsinycosxcosy-sin2ycos2x
sinx+ysinx-y=sin2x cos2y-sin2ycos2x
sinx+ysinx-y=sin2x 1-sin2y-sin2y1-sin2x
sinx+ysinx-y=sin2x-sin2xsin2y-sin2y+sin2xsin2y
sinx+ysinx-y=sin2x-sin2y
b) cos (x + y) cos (x – y) = 1 – sen2 x – sen2 y
cosx+ycosx-y=(cosxcosy-sinysinx)(cosxcosy+sinysinx)
cosx+ycosx-y=cos2xcos2y+sinxsinycosxcosy-sinxsinycosxcosy-sin2xsin2y...