Ejercicios Integrales

C´lculo II. Ing. Civil a

Gu´ 2 : Cambio de variable e Integraci´n por partes ıa o
Prof. Claudio del Pino O.

1. Determinar cada una de las siguientes integrales usando f´rmulas o el m´todo desustituci´n. Comprobar el o e o resultado usando derivadas. a) (x2 − a)2 dx √ 3 1 x− √ 3 x b) 3t2 t dt +4 3 (5t + 1)3
2

c)

√

x+2 dx x2 + 4x

d)

dx

e)

1−

dt

f)

5 cos(7x) dxz dz 1 − 2z 2

g)

sin(at) dt cos(at) + b ex
3

h)

xesin 3x cos 3x2 dx 1 + ln(x + 1) dx 2x + 2 5x dx + 4)3

i)

√

j)

−3x−2

(6x2 − 6) dx

k)

l)

√ (πx 1 − 5x2 ) dx √ exex − 1 dx 1 dx x2 − 6x + 5

m)

√ 3

(4x + 3) dx 1 + 3x + 2x2
2

n)

(9x2
√

o)

p) Soluciones:

(2 + x ) dx

x

q)

e x √ dx x

r)

√

Ta l
d) xdx =x 1

a) (1/5) x5 −(2/3) ax3 + a2 x + C ln(cos(at) + b) +C g) − a 2/3 +C m) (3/2) 1 + 3 x + 2 x2

√ x2 + 4 x + C √ i) −(1/2) 1 − 2 z 2 + C c)

o) (2/3) (ex − 1)3/2 + C

2. Calcular las siguientes integrales usandoel m´todo de Integraci´n por Partes (comprobar el resultado usando e o derivadas). a) 100x e−0,3x dx

de

b)

y2 dy e3y

ca
√

e) t + 3/10 (5 t + 1)−2 + C k) (1/3) (1 + ln (x + 1))3/2 + Cq) 2 e
x

+C

c)

x ln(4x)dx

u sin u du

e)

ln x dx (x + 1)2

f)

7x2 ln(4x)dx

3. Hallar la ecuaci´n de la curva cuya pendiente, (m), en un punto cualquiera es la expresi´n daday que pasa por el o o punto indicado P : x2 , P = (0, 2) b) m = sin2 (x), P = (0, 0) a) m = 1 + x2 Soluciones: a) y = x − arctan x + 2 4. Despu´s que una persona ha estado trabajando durante t horascon una m´quina en particular, habr´ rendido x e a a unidades, en donde la tasa de rendimiento (n´mero de unidades por hora) est´ dada por: u a
t dx = 10 1 − e− 50 dt

a) ¿Cu´ntas unidades derendimiento alcanzar´ la persona en sus primeras 20 horas? a a b) ¿Cu´nto rendir´ durante las segundas 50 horas?. a a 5. En el siguiente desarrollo se llega a un resultado claramente incorrecto. ¿Qu´...