Ejercicios Matemáticos.

Presentaci´n o

El grupo de profesores del Departamento de Matem´ticas de la a Universidad Tecnol´gica de Pereira que durante a˜os han venido o n orientando el primer curso de matem´ticas que deben tomar los alumnos a que recien inician su vida en la educaci´n superior en los programas o de: Ingenier´ ıas, Tecnolog´ ıas, Quimica Industrial, Administraci´n del o medio Ambiente, y Licenciaturaen Matem´ticas y F´ a ısica; han puesto su experiencia y su conocimiento en la elaboraci´n de este material con o el objetivo de facilitar la comprensi´n y desarrollo de todos los temas o que se exponen en ´l. e Aqu´ encontrar´n gran cantidad de talleres con sus respuestas ı a sistem´ticamente presentados conforme se desarrolle el curso, ajustados a completamente al contenido de la asignatura;permitiendo que el alumno avance hacia la consecuci´n de las habilidades y competencias necesarias o que le dar´n la solidez matem´tica para afrontar con solvencia las a a diferentes asignaturas que requieran de unas buenas bases matem´ticas. a Es de recalcar que los talleres aqu´ planteados requieren ı fundamentalmente tan solo de los elementos te´ricos que el docente o entregar´ en cada clase,siendo esto ventajoso dado que le evita al a alumno el gasto asociado a la compra de un texto gu´ ıa. Finalmente se han agregado unos temas en el ap´ndice de este libro e y corresponden en gran medida a los t´picos fundamentales que o cualquier alumno debe manejar con soltura para poder dar inicio con responsabilidad al desarrollo de ejercicios y problemas propuestos en este material que hemosdenominado Talleres de Matem´ticas I a

Profesores Matem´ticas I a

Departamento de Matem´ticas - UTP a

Ap´ndice A. Los n´ meros reales e u
Empezaremos con algunos de los conjuntos b´sicos de n´meros con los a u que ya est´ familiarizado: a Los n´ meros naturales u Los n´ meros enteros u Los n´ meros racionales u N = {1, 2, 3, 4, ...} Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Q={ p | p, q ∈ Z, q =0} q

El n´mero asociado con la recta num´rica se llama coordenada del punto. u e Los n´meros enteros se pueden representar en una recta de la siguiente u forma: 1. Elige un punto cualquiera de la recta. As´ ıgnele el valor 0. 2. Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y as´ ıgnele el valor 1. La distancia entre ambos puntos ser´ la unidad de medida de a ˆ longitud.E Si marcas esa unidadde medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y as´ sucesivamente representas todos los n´ meros naturales: 1, 2, ı u 3, 4, 5, 6, ..... Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los n´meros u negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . Este conjunto se denomina n´ meros u enteros

Los n´ meros racionales se asociancon puntos sobre la recta num´rica. u e Para representar el n´mero 2,5 que es un n´mero comprendido entre 2 u u y 3, dividimos el segmento entre los n´meros 2 y 3 en 10 partes iguales. u Tomamos 5 de esas partes contando a la derecha desde el 2. Despu´s de asociar cada n´mero racional con un punto de la recta e u num´rica, nos encontramos que todav´ faltan puntos por asociar. Estos e ıa n´merosque no corresponden a ning´n n´mero racional se llaman u u u n´ meros irracionales I. u

i

Departamento de Matem´ticas - UTP a 1 Los decimales finitos como por ejemplo = 0.25 y los decimales 4 1 peri´dicos como o = 0.3333¯ representan n´meros racionales. 3 u 3 Es un hecho que los decimales que no son finitos ni peri´dicos no son o n´meros racionales. En otras palabras, un decimal de este tipono se u puede representar como el cociente de dos enteros. Este conjunto de decimales que no son finitos ni peri´dicos recibe o √ el nombre de n´ meros irracionales I. Por ejemplo, π, 2 son u n´meros irracionales. u Lo importante para nosotros es reconocer que los n´meros irracionales u tambi´n representan puntos sobre la recta num´rica. Si tomamos todos e e los n´meros racionales junto con todos...