Ejercicios Matrices Resueltos

MATEMÁTICAS II

MATEMATICAS
2º Bachillerato

1. Introducci´n
o
1.1. Tipos de Matrices
2. Operaciones con matrices
2.1. Suma de matrices.
• Propiedades de la suma de matrices.
2.2. Multiplicaci´n de un n´ mero por una matriz.
o
u
• Propiedades de la multiplicaci´n por un n´mero.
o
u
2.3. Producto de matrices.
• Propiedades del producto de matrices.
3. Matriz Traspuesta.
3.1.Propiedades de la matriz traspuesta
4. Matriz Inversa.
4.1. Propiedades de la matriz Inversa.
5. Matriz reducida
5.1. Transformaciones elementales
5.2. Rango de una matriz
6. Ejercicios
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Matrices

Tabla de Contenido

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Secci´n 1: Introducci´n
o
o

3MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

1. Introducci´n
o

A

am1

am2

am3

···

amn

De forma abreviada se escribe A = (aij )m×n
1.1. Tipos de Matrices
Matriz fila Es una matriz de dimensi´n 1 × n o tambi´n vector fila
o
e
A = ( a11

a12

a13

···

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Matrices

El concepto de matriz como tabla ordenada de n´meros es muy antiguo,
u
pero fu´en el siglo XIX cuando J.J. Sylvester (1814-1897) utiliz´ el t´rmino
e
o
e
matriz y Arthur Cayley (1821-1895) sent´ las bases del c´lculo matricial.
o
a
En la actualidad el concepto de matriz subyace en todas las ramas de la
Matem´tica y es de una importancia trascendental.
a
Definici´n 1.1 Se denomina matriz de dimensi´n m × n a todo conjunto de
o
o
elementos dispuestos en m filas y ncolumnas.


a11 a12 a13 · · · a1n
 a21 a22 a23 · · · a2n 

A=
..
 ···
.
···
···
··· 

a1n )

Matriz columna Es una matriz de dimensi´n m×1 o tambi´n vector columo
e
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Secci´n 1: Introducci´n
o
o

na

4

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A


a11
 a 
A =  21 
·
am1


Matriz Cuadrada Es aquella que tiene igual n´mero defilas que de columu
nas. Por ejemplo


1 3 −1
1 3
6
A=
B = 2 5
2 5
0 3
1
Matriz Sim´trica Es aquella que tiene los elementos sim´tricos a la diagoe
e
nal principal iguales. Por ejemplo


x a c
A = a x b
c b x

CIENCIAS

MaTEX
Matrices

Matriz Escalonada por filas Es tal que en cada fila el n´mero de ceros
u
que precede al primer elemento no nulo es mayor que en laprecedente.
Por ejemplo


1 3 −1
5
0
6
1
4
0 0
A=

0 0
0 12
3
0 0
0
0 −3

d
B
s=B+mv

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Secci´n 2: Operaciones con matrices
o

5

Matriz Identidad Es aquella que tiene en la diagonal principal unos y el
resto todos nulos. Por ejemplo


1 0 0
1 0
I2 =
I3 =  0 1 0 
0 1
0 0 1
2. Operaciones con matrices

MATEMATICAS
2ºBachillerato
r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX

Sean A = (aij )m×n y B = (bij )m×n dos matrices de la misma dimensi´n.
o
Se define la matriz suma A + B = (aij + bij )m×n como la matriz que se
obtiene de sumar los elementos correspondientes. Por ejemplo:

 
 

1 3 −1 5
4 3
2 1
5
6
1
6
 −1 2
6 4 +  0 3
5 7  =  −1
5 11 11 
0 8
8 2
11 9 −3 0
11 17
5
2
y porejemplo:


1
 −1
0

 
 

3
4 3
5
6
2  +  0 3  =  −1
5
8
11 9
11 17

Al conjunto de todas las matrices de dimensi´n m × n le designamos por
o
Mm × n .

Matrices

2.1. Suma de matrices.

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Secci´n 2: Operaciones con matrices
o

6

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

• Propiedades de la suma de matrices.

A

1. Estable

d∀A, B ∈ Mm × n

A + B ∈ Mm × n

B
s=B+mv

2. Asociativa

CIENCIAS

(A + B) + C = A + (B + C)

3. Elemento neutro o matriz nula. Tiene todos sus elementos nulos.
∀A ∈ Mm × n , ∃0 ∈ Mm × n

/ A+0=A

4. Elemento opuesto
∀A ∈ Mm × n , ∃A ∈ Mm × n

/ A+A =O

5. Conmutativa
∀A, B ∈ Mm × n

MaTEX

A+B=B+A

Ejercicio 1. ¿Cu´l es la opuesta de la matriz A =
a

1
5...