Ejercicios MECANICA

Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenier´a, Ciencias y Administracion
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Primer semestre 2013

Departamento de Matem´ tica y Estad´stica
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CALCULO MULTIVARIABLE

Profesores: Elena Olivos, Ang´ lica Mansilla, Adrialy Muci, Erwin Henr´quez
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Ayudantes: Javiera Rodr´guez, Carolina Henr´quez, Melanie Olate, Tom´ s Cassanelli
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Taller n◦ 2Nombre................................................................................................... Carrera ................................

Considere las curvas C1 : r =

√

3 sen θ y C2 : r = 2 sen 2θ senθ.

1. (3 puntos) Estudie la simetr´a de ambas curvas
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2. (3 puntos) Encuentre los puntos P(r, θ ) de interseccion de C1 y C2
3. (3 puntos) Grafique las curvas C1 y C2 en un mismo sistema decoordenadas polares
´
4. (3 puntos) Escriba el conjunto que representa la region interior a C1 y exterior a C2

Solucion
´

1.

a) C1 :

F (r, θ ) = r −

√

3 sen θ

√
√
F (−r, θ ) =−r − 3 sen θ = F (r, θ ) y F (r, π + θ ) = r − 3 sen(π + θ ) =
√
r + 3 sen θ = F (r, θ ).
Luego no es sim´ trica con respecto al origen.
e
√
√
F (r, π − θ ) = r − 3 sen(π − θ ) = r − 3 sen θ = F(r, θ ).
π
Luego es sim´ trica con respecto al eje θ = .
e
2
√
√
F (r, −θ ) = r − 3 sen(−θ ) = r + 3 sen θ = F (r, θ ).
Luego no es sim´ trica con respecto al eje polar.
e
b) C2 :

F (r, θ) = r − 2 sen θ sen 2θ.
F (−r, θ ) = −r − 2 sen θ sen 2θ = F (r, θ ) y F (r, π + θ ) = r − 2 sen(π +
θ ) sen 2(π + θ ) = r + 2 sen θ sen 2θ = F (r, θ ).
Luego no es sim´ trica con respecto alorigen.
e
F (r, π − θ ) = r − 2 sen(π − θ ) sen 2(π − θ ) = r + 2 sen θ sen 2θ = F (r, θ ).
π
Luego no es sim´ trica con respecto al eje θ = .
e
2
F (r, −θ ) = r − 2 sen(−θ ) sen 2(−θ ) = r − 2 senθ sen 2θ = F (r, θ ).
Luego es sim´ trica con respecto al eje polar.
e

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´
2. Los valores del angulo donde se intersectan las cuvas est´ n dados por la solucion
a
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de la ecuacion...