Ejercicios resueltos calculo 1
Páginas: 59 (14571 palabras)
Publicado: 10 de junio de 2014
Universidad de Santiago de Chile.
Problemas Resueltos y Propuestos Cálculo 1 MBI.
(Primera versión.)
Cristián Burgos G.
16 de septiembre de 2013
2
Índice general
1. Problemas Resueltos.
5
1.1.
Números Reales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.
Funciones
5
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3.
Sucesiones.
1.4.
Límite y Contuinidad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.5.
Derivadas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461.6.
Integrales: Métodos de Integración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Problemas Propuestos.
31
99
2.1.
Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.2.
Funciones
99
2.3.
Sucesiones:
2.4.
Límite y Continuidad
2.5.
Derivadas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.6.
Integrales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3
4
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Problemas Resueltos.
1.1.
Números Reales
1. Resuelvax3 + x2 ≥ x
Solución: Resolviendo, tenemos que
x3 + x2 − x ≥ 0 ⇒ x(x2 + x − 1) ≥ 0
note que
∆ = 1 + 4 = 5,
luego:
x=
√
1± 5
2 , entonces:
x x−
√
1+ 5
2
x−
√
1− 5
2
≥0
analizando los puntos de
cambio de signo tenemos:
√
x−
√
1+ 5
2
[ 1−2 5 , 0]
-
x
x−
√
] − ∞, 1−2 5 ]
√
1− 5
2
P (x)
-
+
-
+
+
+-
+
+
-
+
+
S =[ 1−2 5 , 0]
2. Resolver la inecuación
√
[ 1+2 5 , ∞[
-
√
Luego, la solución es:
√
[0, 1+2 5 ]
√
[ 1+2 5 , ∞[
1
3x + 2
≤
x+1
x+1
Solución: Se tiene
3x + 2 − 1
3x + 1
≤0⇒
≤0
x+1
x+1
multiplicando por el cuadrado de denominador que siempre es positivo:
(3x + 1)(x + 1) ≤ 0.
Observe que
x = −1,
además. estaexpresión se comporta de formá parabólica, es decir, como una función cuadrática, por lo tanto la
solución de esta inecuación es:
1
S =] − ∞, −1[∪[− 3 , ∞[
3. Resuelva la inecuación
x2 − x − 2 ≤ x
Solución:
tenemos la restricción
x2 − x − 2 ≥ 0
(x − 2)(x + 1) ≥ 0 ⇒ x ∈] − ∞, −1] ∪ [2, ∞[
5
6
CAPÍTULO 1.
Sabemos que si
x 0:
x2 − x − 2 ≤ x2
−x − 2 ≤ 0
x ≥ −2Realizando las intersecciones correspondientes, llegamos a la solución
S = [2, ∞[
4.
√
(x2 + 1) x − 1
0, ∀x ∈ R
por lo tanto, esta expresión no afecta el
signo de la inecuación lo que hace que se reduzca a:
1
< 0,
x2 − 7x + 10
que es lo mismo que analizar
exista es que
x ≥ 1,
x2 − 7x + 10 < 0 ⇒(x − 5)(x − 2) < 0 ⇒S =]2, 5[
ahora,a la condición para que la raízluego:
Sf =]2, 5[
.
5. Resuelva
√
(x + 1) x2 − 19x + 18
≥0
x5 − x
Solución: factorizando complétamente la expresión tenemos:
(x + 1) (x − 18)(x − 1)
(x − 18)(x − 1)
≥0⇒
≥0
2 + 1)(x − 1)(x + 1)
x(x
x(x2 + 1)(x − 1)
En primer lugar, sabemos que el denominador en ningún caso puede ser cero, luego
,
0
y
1.
En segundo lugar, la expresión
x2 + 1
x
no...
Problemas Resueltos y Propuestos Cálculo 1 MBI.
(Primera versión.)
Cristián Burgos G.
16 de septiembre de 2013
2
Índice general
1. Problemas Resueltos.
5
1.1.
Números Reales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.
Funciones
5
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3.
Sucesiones.
1.4.
Límite y Contuinidad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.5.
Derivadas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461.6.
Integrales: Métodos de Integración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Problemas Propuestos.
31
99
2.1.
Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.2.
Funciones
99
2.3.
Sucesiones:
2.4.
Límite y Continuidad
2.5.
Derivadas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.6.
Integrales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
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4
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Problemas Resueltos.
1.1.
Números Reales
1. Resuelvax3 + x2 ≥ x
Solución: Resolviendo, tenemos que
x3 + x2 − x ≥ 0 ⇒ x(x2 + x − 1) ≥ 0
note que
∆ = 1 + 4 = 5,
luego:
x=
√
1± 5
2 , entonces:
x x−
√
1+ 5
2
x−
√
1− 5
2
≥0
analizando los puntos de
cambio de signo tenemos:
√
x−
√
1+ 5
2
[ 1−2 5 , 0]
-
x
x−
√
] − ∞, 1−2 5 ]
√
1− 5
2
P (x)
-
+
-
+
+
+-
+
+
-
+
+
S =[ 1−2 5 , 0]
2. Resolver la inecuación
√
[ 1+2 5 , ∞[
-
√
Luego, la solución es:
√
[0, 1+2 5 ]
√
[ 1+2 5 , ∞[
1
3x + 2
≤
x+1
x+1
Solución: Se tiene
3x + 2 − 1
3x + 1
≤0⇒
≤0
x+1
x+1
multiplicando por el cuadrado de denominador que siempre es positivo:
(3x + 1)(x + 1) ≤ 0.
Observe que
x = −1,
además. estaexpresión se comporta de formá parabólica, es decir, como una función cuadrática, por lo tanto la
solución de esta inecuación es:
1
S =] − ∞, −1[∪[− 3 , ∞[
3. Resuelva la inecuación
x2 − x − 2 ≤ x
Solución:
tenemos la restricción
x2 − x − 2 ≥ 0
(x − 2)(x + 1) ≥ 0 ⇒ x ∈] − ∞, −1] ∪ [2, ∞[
5
6
CAPÍTULO 1.
Sabemos que si
x 0:
x2 − x − 2 ≤ x2
−x − 2 ≤ 0
x ≥ −2Realizando las intersecciones correspondientes, llegamos a la solución
S = [2, ∞[
4.
√
(x2 + 1) x − 1
0, ∀x ∈ R
por lo tanto, esta expresión no afecta el
signo de la inecuación lo que hace que se reduzca a:
1
< 0,
x2 − 7x + 10
que es lo mismo que analizar
exista es que
x ≥ 1,
x2 − 7x + 10 < 0 ⇒(x − 5)(x − 2) < 0 ⇒S =]2, 5[
ahora,a la condición para que la raízluego:
Sf =]2, 5[
.
5. Resuelva
√
(x + 1) x2 − 19x + 18
≥0
x5 − x
Solución: factorizando complétamente la expresión tenemos:
(x + 1) (x − 18)(x − 1)
(x − 18)(x − 1)
≥0⇒
≥0
2 + 1)(x − 1)(x + 1)
x(x
x(x2 + 1)(x − 1)
En primer lugar, sabemos que el denominador en ningún caso puede ser cero, luego
,
0
y
1.
En segundo lugar, la expresión
x2 + 1
x
no...
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