Ejercicios Resueltos CAP 2

EJERCICIOS
Ecuación Unidimensional de Conducción de Calor
−

1 𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇
(−𝐾𝐴 ) + 𝑒̇𝑔 = 𝜌𝐶
𝐴 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑡

Suponiendo conductividad K y área A constantes:
𝜕 2 𝑇 𝑒̇𝑔 1 𝜕𝑇
+ =
𝜕𝑥 2 𝐾 𝛼 𝜕𝑡
1. La distribución de temperatura a través de una pared de 1 m de espesor y conductividad K= 40
w/m.k en cierto instante es:
T(x) = a + bx + cx2
Donde T esta °C y x en metros, a= 900 °C, b= -300 °C/m, c= -50 °C/m2
Unageneración de calor
C=4 kJ/kg K.

𝑒𝑔̇ = 1000 W/m está presente en la pared de A= 10 m , kg/m
3

2

a. Determine la rapidez de transferencia de calor en x=0 y en x=1m.
b. Determine la rapidez de cambio de almacenamiento de energía en la pared.
c. La rapidez de la variación de la temperatura con respecto al tiempo.
Solución:
a.

𝑄̇(𝑥) = -kA dt/dx = -kA (b + 2cx)
𝑄̇(0)= -kA b = -40 (10) (-300)= 120 kW
𝑄̇(1)=-kA (b+2c) = -400 (-300-100) = 160 kW

b.
𝐸̇𝑖 + 𝐸𝑔̇ = 𝐸𝑒̇ + ∆𝐸𝑎̇
∆𝐸𝑎̇ = 𝐸̇𝑖 + 𝐸𝑔̇ − 𝐸𝑒̇ = 𝑄̇ (0) + 𝑒𝑔̇ × 𝐴 × 𝐿 − 𝑄̇ (1)
∆𝐸𝑎̇ = 120𝑘𝑊 + 1000

𝑊
(10 𝑚2 )(1 𝑚) − 160 𝑘𝑊 = −𝟑𝟎 𝒌𝑾
𝑚3

El signo negativo de la acumulación de energía significa que la pared se está enfriando.
c. Partiendo de la ecuación general:
𝜕 2 𝑇 𝑒̇𝑔 1 𝜕𝑇
+ =
𝜕𝑥 2 𝐾 𝛼 𝜕𝑡

3

y

2𝑐 +

𝑒̇𝑔 1 𝜕𝑇
=
𝐾 𝛼 𝜕𝑡

DespejandodT/dt:
𝑒̇𝑔
𝑒̇𝑔
𝜕𝑇
𝐾
= 𝛼 [2𝑐 + ] =
[2𝑐 + ]
𝜕𝑡
𝐾
𝜌𝐶
𝐾
𝜕𝑇
40 𝑊/𝑚𝐾
°𝐶
100 𝑊/𝑚3
=
[2(−50 2 ) +
] = −𝟒, 𝟔𝟗 × 𝟏𝟎−𝟒 °𝑪/𝒔
𝜕𝑡 1600 𝐾𝑔 × 4000 𝐽
𝑚
40 𝑊/𝑚𝐾
𝑘𝑔 . 𝐾
𝑚3

2. La distribución de temperatura a través de una pared plana de espesor 0,3m en cierto instante
es T(x) = a + b + cx2 donde T está en °C, x en metros, a= 200 °C, b= -200 °C/m y c=30 °C/m2. Si K=1
w/m.K A=1m2 :
a. Determine razón de calor en x=0,x=0,3 m y la rapidez de cambio de energía almacenada.
b. Si la superficie fría de expone a un fluido a 100 °C, ¿Cuál es el coeficiente de convección?
Solución
a.

𝑄̇(𝑥) = -KA (b + 2cx)
𝑄̇(0)= -KA.b = -1 (1)(-200) = 200 W
𝑄̇(0,3)= -1 (1) [-200 + 2 (30)(0,3)] = 182 W
ΔĖa = Ėi + Ėg – Ėe = 𝑄̇ (0) + 0 +

𝑄̇ (0,3) = 200 W – 182 W = 18 W

El signo positivo de la acumulación de energía significa que la paredse está calentando.
b.
Como el flujo de calor es menor en 0,3 m que en 0m, quiere decir que esa pared será la
más fría. Se calcula entonces la temperatura en esa superficie:
T(0,3) = 200 – 200 (0,3) + 30 (0,3)= 149 °C
Se hace balance en x= 0,3 m:
𝑄̇ 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑄̇ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
−𝐾𝐴

𝑑𝑇(0,3)
= ℎ𝐴[𝑇(0,3) − 𝑇∞ ]
𝑑𝑥

𝑑𝑇(0,3)
182 𝑊/𝑚2
𝑾
𝑑𝑥
ℎ=
=
= 𝟑, 𝟕𝟏𝟒 𝟐
[𝑇(0,3) − 𝑇∞ ]
49 °𝐶
𝒎 °𝑪
−𝐾

3. Una capa planade carbón de espesor L=1m experimenta una generación volumétrica uniforme
de 20 W/m3 debido a la oxidación lenta de las partículas de carbón. La superficie transfiere calor
por convección al aire para el que h=5 W/m2.K y T∞ =25°C. suponga que el carbón está en una
superficie adiabática (no hay transferencia de calor en x=0).

Aire

T∞

L
Carbón K= 1,6 W/mK
O
Superficie adiabática

(a) Obtenga unaexpresión para T(x) en estado estable.
Condiciones de frontera:
 Temperatura superficial constante T (L) = Ts
 Superficie adiabática :
𝑑𝑇(0)
=0
𝑑𝑥
(b) Para A = 1 m2, obtenga Ts y T(0)

Solución
(a). Partiendo de la ecuación general y teniendo que en estado estable dT/dt = 0:
𝜕 2 𝑇 𝑒̇𝑔
+ =0
𝜕𝑥 2 𝐾

Integrando una vez:

𝑒̇𝑔
𝑑𝑇
= − 𝑥 + 𝐶1
𝑑𝑥
𝐾
Con la condición de superficie adiabática:

𝑒̇𝑔
𝑑𝑇(0)
=0 = − × 0 + 𝐶1 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐶1 = 0
𝑑𝑥
𝐾

Integrando por segunda vez y con la condición de temperatura superficial constante:
𝑇(𝑥) = −
𝑇(𝑥 = 𝐿) = 𝑇𝑠 = −

𝑒̇𝑔 2
𝑥 + 𝐶2
2𝐾

𝑒̇𝑔
𝑒̇𝑔 2
(𝐿)2 + 𝐶2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐶2 = 𝑇𝑠 +
𝐿
2𝐾
2𝐾

Así:
𝑇(𝑥) = 𝑇𝑠 +

𝑒̇𝑔 2
(𝐿 − 𝑥 2 )
2𝐾

(b). Obtenga Ts y T(0).
Para obtener Ts se hace balance en x=L:
𝑄̇ 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑄̇ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
−𝐾𝐴

𝑑𝑇(𝐿)
= ℎ𝐴[𝑇(𝐿) − 𝑇∞ ]
𝑑𝑥

−𝐾 [−

𝑒̇𝑔
𝐿] =ℎ[𝑇𝑠 − 𝑇∞ ]
𝐾

𝑒̇𝑔 𝐿 = ℎ[𝑇𝑠 − 𝑇∞ ], 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑇𝑠 =
𝑇𝑠 =
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑇(0) = 𝑇𝑠 +

𝑒̇𝑔 𝐿 + ℎ𝑇∞
ℎ

(20)(1) + 5(25)
= 𝟐𝟗°𝑪
5
𝑒̇𝑔 2
20
(𝐿 − 02 ) = 29 +
(1) = 𝟑𝟓, 𝟐𝟓°𝑪
2𝐾
2(1,6)

4. En un reactor nuclear barras de uranio de 1cm de diámetro y K=29,5 W/m°C se genera
uniformemente calor a razón de 4x107 W/m3. Si la temperatura superficial (en r0) es de 220°C:

r0
0

K = 29,5 W/m°C

ėg = 4 x 107 W/m3
T (r0)...