Ejercicios_Resueltos_de_Teoremas_Fundamentales

Ejercicios Resueltos de Teoremas
Fundamentales.
1.- Calcule la integral de línea

región rectangular cerrada, con vértices en los puntos

Solución:

, siendo

el contorno de la
y

.

2.- Utilice elTeorema de Green para calcular la integral
es la frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado por
y en el exterior del cuadrado limitado por

Solución:

, donde
.

3.-Calcular

para

los planos coordenados y el plano

Solución:

,y
.

la región sólida acotada por

4.- Calcular
octante del plano

Solución:

para

y
.

la porción del primer

5.- Calcular
del conoSolución:

, siendo
encima del plano

y
.

la superficie

6.- Calcular la integral
.

Solución:

, donde

pertenece a

7.- Calcular

, en que

región

Solución:

Por teorema de la divergencia:
Pero:Aplicando coordenadas esféricas:

y
.

es la frontera de la

8.- Sea

en que

Solución:
Por teorema de Stokes:

Pero:

Análogamente:

y

, demuestre que:

9.- Calcule la integral


 
F
*
n
dS
F
= ( x,y,2 z ) y S es la superficie externa del sólido
con
∫∫
S

acotado por x + y = 1 − z
2

y z = 0.

2

Solución:

∂ ∂ ∂
∇ ⋅ F = ( , , ) ⋅ ( x, y , 2 z ) = 1 + 1 + 2 = 4
∂x ∂y ∂z

∫∫

 

F ⋅ n ds = ∫∫∫∇ ⋅ F dv = ∫∫∫ 4 dv
R

S

2∏

=4

2
1 1− ρ

∫ ∫ ∫ ρ dz dρ dθ

θ =0 ρ =0 z =0

1

= 4 ⋅ (2 ∏) ∫ ρ (1 − ρ 2 ) dρ
ρ =0

1 1
= 8 ∏ −  = 2 ∏
2 4

R

10.- Qué puede decir de

 
xy
xy
ye
dx
+
xedy
,
donde
C
*
:
r
(
t
)
=
2
i
+ tj , − 1 ≤ t ≤ 1.
∫

C ∪C *

Solución:
La integral de línea es nula, ya que

∫ ye

C ∪C *

xy

dx + xe xy dy

=


∂θ

∂P

∫∫ ( ∂x − ∂y )dA

Teorema deGreen D

=


0Campo Conservador

Donde D es la región plana limitada por la curva cerrada C ∪ C * y

P( x, y ) = ye xy , Q( x, y ) = xe xy

11.- Calcular



 


F
⋅
n
ds
=
+
2
+
3
F
xz
i
xy
j
xy
k
donde
y Ces la frontera de la parte del
∫

C

plano 3 x + y + z = 3 que está en el primer octante.

Solución:
Por Teorema de Stokes, se tiene que:


 


∂g
∂g
⋅
=
⋅ n ds = ∫∫  − P
−Q
F
dr
rot
F
+ R ...