ejercicios vectores (algebra lineal)

VECTORES
Ejercicio nº 1.-



Consideramos la base de 3 formada por los vectores a ( 2, − 1, 3 ) , b ( 0, 2, − 1) y

c ( 3, 0, 1) .

a) Halla las coordenadas de u (4, − 7, 14 ) respecto de la base anterior.

 

b) Expresa, si es posible, el vector c como combinación lineal de a, b y u.

Ejercicio nº 2.-



 


a) Halla los valores de x , y , z tales que xu + yv+ zw = 0, siendo u (2, 0, − 3 ), v (1, − 2, 0 )

y w (3, 2, − 6 ).

b) Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de 3?
Ejercicio nº 3.-



Dados los vectores u (2, − 1, 0 ) y v (3, 2, − 1):

a) ¿Son linealmente independientes?
b) ¿Forman una base de ℝ3?



 1
c) Halla un vector, w, tal que 2u + 3 w = v.
2
Ejercicio nº 4. 


a)Se sabe que u, v y w son linealment e dependient es. ¿Podemos asegurar que u es


combinació n lineal de v y w? Justifica tu respuesta.

b) Halla las coordenada s del vector a (4, 3, 7 ) respecto de la base

B = {(2, 1, 0), (1, 0, −2), (0, 0, 3)}.

Ejercicio nº 5.-





Dados los vectores a (1, 2, 3 ), b (1, 1, 1), c (1, 0, 5 ) y d (− 1, 1, 3 ):

a) ¿Forman una base de 3?
 

b) Expresa, si es posible, el vector d como combinación lineal de a, b y c.

PRODUCTO ESCALAR
Ejercicio nº 1.-




 
Dados los vectores a (1, − 1, 0 ), b (0, 1, − 1) y c = ma − b:


a) Halla el valor de m para que a y c sean perpendicu lares.


b) Para m = 2, halla el ángulo que forman b y c.

Ejercicio nº 2.-

   
 
 


Dados los vectores a= 2 i − j ; b = i + 2 j − k ; halla x e y de forma que c = x i + y j sea


perpendicular a b y tenga el mismo módulo que a.

1

Ejercicio nº 3.-



Sean u y v dos vectores que forman un ángulo de 45 o y que tienen el mismo módulo,


u = v = 2.
 
 
a) ¿Cuál es el módulo de u + v? ¿Y el de u − v?
 
 
b) Demuestra que u + v y u − v son perpendicu lares.Ejercicio nº 4.-



Dados los vectores u (1, 0, 0 ) y v (1, 1, 0 ):




a) Halla la proyección de u sobre v, así como el ángulo que forman u y v.


b) Encuentra un vector (x , y , z ) ≠ (0, 0, 0 ), que sea combinació n lineal de u y v, y que sea

perpendicular a (1, 0, 0).
Ejercicio nº 5.-




Dados los vectores u ( 2, − 1, 3 ) , v ( 4, 2, − 2 ) y w (1, 2, x ):
 

a) Halla u , v y el ángulo que forman u y v.


b) Obtén el valor de x para que u y w formen un ángulo de 60 o .

PRODUCTO VECTORIAL
Ejercicio nº 1.-



Dados los vectores u (1, 3, 0 ) y v (2, 1, 1):



a) Halla un vector, w, de módulo 1, que sea perpendicu lar a u y a v.


b) ¿Cuál es el área del paralelogr amo determinad o por u y v?

Ejercicio nº 2.-

 
 
Hallael área de un paralelogr amo determinad o por los vectores u × v y u × w, siendo:



u (2, − 1, 1), v (0, 1, − 1) y w (1, 0, 1)

Ejercicio nº 3.a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, −1, 1) y a (1, −2, 0).
     
b) ¿Es cierto que (u × v ) × w = u × (v × w )? Pon un ejemplo.

Ejercicio nº 4.-



a) Demuestra que, si u y v son dos vectores cualesquie ra, setiene que:
(u − v )× (u + v ) = 2(u × v )


b) Halla un vector perpendicu lar a u (2, − 1, 1) y a v (3, 0, − 1).

Ejercicio nº 5.-


Halla el valor de m para que el área del paralelogr amo determinad o por u (2, 0, 1)

y v (0, m, 1) sea 2.

2

PRODUCTO MIXTO
Ejercicio nº 1.-




a) Demuestra que los vectores u (k , − 3, 2 ), v (k , 3, 2 ) y w (1, 0, 0 ) sonlinealment e

independientes, cualquiera que sea el valor de k.

 

b) ¿Cuál es el volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w?

Ejercicio nº 2.-


a) Calcula el volumen del paralelepí pedo determinado por los vectores u (2, − 1, 1),


v (3, 0, − 2 ) y w (2, − 3, 0 ).

b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?:

[2u , v , w ]; [u , v , u +...