Ejercicios

Ejercicios Resueltos de Cálculo
Vectorial e Integrales de línea.
1.- Determine el valor de

Solución:

, si

y

.

2.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza
partícula desde el puntoSolución:

al

a lo largo de la curva

, para mover una
.

3.- Sea
la trayectoria

Solución:

. Demuestre que
que pasa por dos puntos dados.

es independiente de

4.-Verifique el Teorema de Green para

, donde

tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas

Solución:

es la frontera,
y

.

5.- Demuestre que:

Solución:

6.- Seael valor de la integral.

Solución:

, donde

y

. Determinar

7.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva
orientada de manera positiva:Donde
con

consiste del segmento de recta que va desde
.

Solución:
Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:

Aquí:

Se tiene:

a

y de la curva

8.- Demuestre que la integralde línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la
integral.

Donde

es cualquier trayectoria que va desde –

hasta

.

Solución:

Es decir, existe

con

. Así, la integrales independiente de la trayectoria se tiene:

Integrando con respecto a se tiene:

Se tiene:

9.- Sea

un campo escalar y

un campo vectorial dado por

. Suponga que existen lasderivadas parciales y que éstas son
continuas. Demuestre que:

Solución:

10.- Sea
a) Demuestre que

es un campo conservativo

Solución:

b) Encuentran el potencial escalar

Solución:

c)Calcule

Solución:

donde

está dada por:

11.- Calcule
gráficas de

Solución:

, donde
y

.

es la frontera de la región situada entre las

12.- Determinar el exponente constanteλ, de modo que:

Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple
convexa.

Solución:
Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario...