ejercicios

Winston página 823, problema 1.

ENUNCIADO

[Usando la teoría de esta sección] Determine el valor y las estrategias óptimas del juego de dos personas con suma cero de la tabla 15.


Tabla 15

1
2
3
2
0
3


SOLUCIÓN

Para el jugador de columnas es claro que la tercera estrategia está dominada por las otras dos. Por ello, el juego queda reducido al de matriz:

1
2
otambién
a11
a12
2
0

a21
a22


Aplicando las fórmulas para la resolución de este tipo de problemas de juegos matriciales de suma cero se obtiene:

= 1 + 0 –2 –2 = -3

= = , = =

y

Por tanto, la solución óptima es:
Para el jugador de filas: ( 2/3, 1/3)
Para el jugador de columnas: ( 2/3, 1/3)
Valor del juego: 4/3
Winston página 823, problema2.

ENUNCIADO

El jugador 1 escribe un entero entre 1 y 20 en un trozo de papel. Sin mostrar el papel al jugador 2, le dice lo que ha escrito. El jugador 1 puede mentir o decir la verdad. Entonces, el jugador 2 debe adivinar si el jugador 1 ha dicho o no la verdad. Si descubren que es mentira, el jugador 1 debe pagar 10 dólares al jugador 2. Si lo acusaron falsamente de mentir, el jugador 1cobra 5 dólares al jugador 2. Si el jugador 1 dice la verdad y el jugador 2 adivina que el jugador 1 ha dicho la verdad, entonces el jugador 1 debe pagar 1 dólares al jugador 2. Si el jugador 1 miente y el jugador 2 no adivina que ha mentido, entonces el jugador 2 paga 5 dólares al jugador 1. Determine el valor de este juego y la estrategia óptima de cada jugador.

SOLUCIÓN

El jugador Ipuede mentir o decir la verdad. El jugador II puede decir que el jugador I ha mentido o decir que no ha mentido.
Este juego de suma cero se puede escribir en forma de tabla:



Jugador II


Dice: “jugador I miente”
Dice: “jugador I no miente”

Jugador I
Mentir
- 10
5

No mentir
5
- 1


Este problema se resuelve de forma análoga al anterior.

= 10155=21

,

yPor tanto, la solución óptima es:
Para el jugador de filas: (mentir, no mentir)=(2/7 , 5/7)
Para el jugador de columnas:
(decir que jugador I miente, decir que jugador I no miente)=(2/7 , 5/7)

Y el valor del juego es: 5/7.
Winston página 823, problema 3.

ENUNCIADO

Encuentre el valor y las estrategias óptimas para el juego de dos personas de suma cero de la Tabla 16.

TABLA16
2
1
3
4
3
2

SOLUCIÓN

Primero analizamos si hay estrategias dominadas. Para el jugador de columnas es claro que la primera estrategia está dominada por la segunda. Por tanto simplificando tenemos:

1
3
3
2

Usando estrategias simples tenemos que maximinjaij = 2  minjmaxiaij=3, luego no existen estrategias simples óptimas.

Por tanto, usamos estrategias mixtas. Sean:x1 = probabilidad de que el jugador 1 elija la estrategia 1.
1-x1 = probabilidad de que el jugador 1 elija la estrategia 2.
y1 = probabilidad de que el jugador 2 elija la estrategia 1.
1- y1= probabilidad de que el jugador 2 elija la estrategia 2.

Determinación de la estrategia óptima deljugador 1:

Es la solución de la ecuación:

que corresponde al punto de corte de las dos rectas que intervienen. De donde, =1/3 y, por tanto, la estrategia óptima para jugador 1 es (1/3,2/3). Sustituyendo en cualquiera de los miembros de la ecuación anterior se tiene que el valor del juego es 7/3. Con esto aseguramos que para cualquier estrategia mixta que elija el jugador 2, la recompensaesperada del jugador 1 sea como mínimo 7/3.

Determinación de la estrategia óptima del jugador 2:

Como la matriz de pagos es simétrica la estrategia óptima es la misma que para el jugador de filas, es decir, es (1/3,2/3) y su valor del juego también es 7/3. Con esto aseguramos que para cualquier estrategia mixta que elija el jugador 1, el jugador 2 no pagará mas de 7/3.
ALTERNATIVA

Este...