Ejercicios

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o
Facultad de Matem´ticas
a
Departamento de Matem´tica
a
22/Mayo/2007

MAT 110-E - Algebra
Pauta Interrogaci´n 2
o

1.

a ) [ 3 puntos ] Senombrar´ Ministro en las carteras de Interior, Relaciones Exteriores, Edua
caci´n, Salud y Hacienda. El n´mero de varones debe ser menor que el de mujeres. Si
o
u
hay dos candidatos varones y trescandidatas mujeres para cada Ministerio, ¿de cu´ntas
a
maneras pueden elegirse los ministros?
b ) [ 3 puntos ] Un domador de fieras desea ordenar en filas a 9 leones y 6 tigres, pero sin
poner a dostigres juntos. ¿De cu´ntas maneras es posible ordenarlos, si los leones son
a
todos distintos, pero los tigres son indistinguibles entre ellos (clones)?
Soluci´n:
o
a ) Consideraremos tres casos, asaber:
que se nombren cinco ministras mujeres y ning´n hombre (s´ es posible)
u
ı,
que se nombren cuatro mujeres y un hombre, o
que se nombren tres mujeres y dos hombres.
Calcularemos lasmaneras de nombrar los ministros en cada uno de estos casos, y las
sumaremos (principio aditivo).
Esto podemos hacerlo resumidamente como sigue:
Sea k un entero entre 3 y 5.
Si se decide nombrar kministras (y por lo tanto 5 − k ministros varones), entonces hay
que escoger los k ministerios que ser´n presididos por f´minas (lo que puede ser hecho
a
e
5
de
maneras) y a continuaci´n hay queproceder a nombrar los ministros de entre
o
k
dos candidatos (en 5 − k ministerios) o de entre tres candidatas (en k ministerios).
Esto puede ser hecho de 3k 25−k maneras.
As´ el n´mero de posiblesmaneras de armar el ministerio es
ı,
u
5

N=
3

5 k 5− k
32
=
k

5 32
5 41
5 50
32+
32+
32
3
4
5

= 10 · 27 · 4 + 5 · 81 · 2 + 1 · 243 · 1 = 1080 + 810 + 243 = 2133.

b )Ordenemos a los leones, considerando los espacios entre ellos, m´s un espacio antes y
a
otro despu´s. Tratemos de intercalar los tigres en algunos de esos espacios.
e
La cantidad de maneras de...