El Conjunto De N Meros Naturales

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES

Los números que se usan para contar se llaman Números Naturales. Este conjunto es:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . }
Observación:
1. Todo número natural tiene un sucesor
Ejemplos: el sucesor de 1 es 2; el sucesor de 2 es 3; el sucesor de a es a+1
2. Todo número natural, excepto el 1, tiene un antecesor.
Ejemplos: el antecesor de 2 es 1; elantecesor de 3 es 2; el antecesor de a es a-1

Axiomas de Peano
Los axiomas de Peano o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Estos axiomas fueron establecidos por Peano (1858-1932), matemático italiano (siglo XIX).
Básicamente, los naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:
1. 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de losnúmeros naturales es no vacío.
2. Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural, llamado el sucesor de a.
3. 1 no es sucesor de ningún número natural. Es el primer elemento del conjunto.
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes, entonces a y b son números naturales diferentes.
5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturalescontiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.
El cero no es natural
El cero se originó por la necesidad de representar de alguna manera la no existencia de cosas u objetos.
El conjunto al cual pertenece el cero se simboliza por N0 , o bien, por N*
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ,9 , 10, 11, . . . }
N0 se llama conjunto de númeroscardinales

Operaciones en IN
Las operaciones que se pueden realizar en este conjunto son la adición (+) y la multiplicación (). El resultado de estas operaciones siempre es otro número natural.
Propiedades de la adición y de la multiplicación en IN
Sean a, b, c números naturales:
Nombre de la Propiedad
Adición
Multiplicación
Conmutatividad
a + b = b + a
a · b = b · a
Asociatividad
a + (b + c) = (a+ b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
Elemento neutro
No existe
En la multiplicación es el 1:
a · 1 = 1 · a = a
Elementos inversos
No existen
No existen
Distributividad de la multiplicación sobre la adición
a · (b + c) = a · b + a c

Números primos y compuestos
En el conjunto de los números naturales existe un subconjunto de números llamados Números Primos. Los números primos sondivisibles sólo por 1 y por sí mismos. El 1 no es primo. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, etc. No hay fórmula para obtener los números primos, sólo existe un procedimiento llamado Criba de Eratóstenes. ¡Investigue!
Los números que no son primos se llaman números compuestos y son divisibles por 1, por sí mismos y por otros números.
Teorema fundamental de laAritmética: Todo número natural se puede escribir como una multiplicación de números primos llamados factores primos.
Ej. 1) 14 = 2 7 Ej. 2) 60 = 2 2 3 5 = 22 3 5

Factores primos Factores primos


Ejercicios:
1) Complete la siguiente tabla:
Antecesor
Número
sucesor

98


1


1000


2) Descomponga en sus factores primos los siguientes números naturales:
150
4411525
1936
2187


3) Exprese los siguientes números naturales como producto de factores primos.
a) 20 b) 36 c) 80 d) 150

Los múltiplos de un número: son los números naturales que se obtienen al multiplicar el número por los números naturales.
Ej. Múltiplos de 3 = M(3) = 3· 1 ; 3 · 2 ; 3 · 3; 3 · 4; . . .
= 3 ; 6 ; 9 ; 12; . . .
Mínimo Común Múltiplo (MCM): Esel menor de los múltiplos comunes de dos o más números dados.
Ej. Encontrar el Mínimo Común Múltiplo de 6, 8 y 12es decir, MCM ( 6, 8, 12). 
Escribiendo los primeros múltiplos de estos números se tiene:
M (6) = { 0 , 6 , 12 , 18, 24 , 30 , 36 , 48 , 54 , 60 , 66 , 72 ... } 
M (8) = { 0 , 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , 56 , 64 , 72 , 80 ... } 
M (12) = { 0 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96...