“El Desarrollo Historico Y Conceptual Del Concepto Limite”

“EL DESARROLLO HISTORICO Y CONCEPTUAL DEL CONCEPTO LIMITE”
Adhara Tovar.
e-mail:

DESARROLLO HISTÓRICO DEL CONCEPTO LÍMITE.
El concepto de límite, no es un concepto aislado, sino que aparece en Matemáticas ligado a otros conceptos como el infinito, la resolución de ciertos problemas geométricos, la convergencia de series, entre otros.

MATEMATICA GRIEGA
En la matemática griega no se puedeconsiderar la noción de límite funcional puesto que, no existía el concepto de función. Sin embargo, al resolver problemas relativos al cálculo de áreas se producen ciertos procesos iterados que constituyen un primer germen de este concepto.
Como ejemplo, se puede considerar el
método de Hipócrates de Chíos (hacia 430 a.C.) para probar que la razón de las áreas de dos círculos es igual a larazón de los cuadrados de los radios y el método de exhaución de Eudoxo (s.-IV).
(fig.1) Hipócrates inscribe en los dos círculos polígonos regulares semejantes y aumentando indefinidamente el número de lados recubre los dos círculos; en cada etapa, la razón de las áreas de los polígonos inscritos es igual a la razón del cuadrado de los radios de los círculos; en limite el área de cada círculotenderá al área de los polígonos y se mantendrá la relación establecida, que queda probada de esta manera. Por lo que se refiere al método de exhaución de Euxodo, consiste esencialmente en acotar la cantidad que se requiere calcular entre dos series de magnitudes que convergen hacia ella, una por arriba y otra por debajo. Ambas cotas se comparan bien con la cantidad estudiada, directamente, bien con lascotas correspondientes a un problema análogo y ya resuelto.
Esta comparación se realiza por un doble proceso de reducción al absurdo y de aquí en nombre de apagógico con el que también se le conoció en siglo XVII. Es decir, conocida mediante un proceso previo intuitivo, mecánico o de cualquier otro tipo, la equivalencia entre dos magnitudes A y B, de las cuales una de ellas también es conocida,el método de exhaución lo que hace es demostrar la equivalencia.

Fig.1
Fig.1

Este método ante todo es, un método geométrico que permite demostrar los resultados sin hacer llamadas al infinito; como es bien conocido, los griegos manifestaron una gran reticencia a mirar al infinito y se prohibieron su uso en los razonamientos matemáticos. Como señala Cornu (1983) aunque el método deexhaución esta bastante próximo a la noción de límite no se puede decir que los griegos tuviesen el concepto de límite; es la geometría y en particular el problema de los cálculos de áreas lo que ha permitido la puesta a punto de una noción (la exhaución) a la que se puede considerar un ancestro de la noción de límite.

SIGLO XVII

Algunos de los problemas que se trataban de resolver fueron lossiguientes:
-Encontrar los límites de los elementos geométricos (secantes a una curva que pasan por un punto fijo a la curva, polígonos inscritos en un círculo etc.)
-Medir las magnitudes y los elementos “diferenciales” asociados a las curvas y superficies (tangentes, radios de curvatura, asíntotas, máximos y mínimos).
-Calcular formas indeterminadas.
-Evaluar el orden de las magnitudes de sumasparciales de series divergentes o de restos de series convergentes.
A resolver estos problemas, en los que está implícito el concepto de límite, se dedican los matemáticos de esta época.
Cavalieri (1598-1647) formuló un método original, que se conoce como el método de los indivisibles, que consiste en considerar como invisibles a los elementos que constituyen una figura de dimensión mayor: lospuntos son los indivisibles de un segmento; los segmentos de figuras planas; las secciones planas, de solidos: Entonces, para hallar por ejemplo el volumen de un cilindro, se descompone en una infinidad de cilindros de altura infinitamente pequeña, mediante un haz de planos paralelos y la suma de todos esos cilindros será el volumen del cuerpo pedido. Aunque este método fue criticado, en un...