El gas metano

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSION- TACHIRA

Autor:
Diego Franyer Catillo V.
C.I. 24.820.997

SAN CRISTOBAL, MARZO 2011.

LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Sea F(t) una función de t definida para t > 0. La transformada de Laplace de F(t), denotada por , se define como:Se dice que la transformada de Laplace de F(t) existe cuando la integral anterior converge para algún valor de s; de otra manera, se dice que no existe.

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, Ahora, como  si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución  que buscamos. Es decir,necesitamos de la transformada inversa, para hallar la función 

Si  es la transformada de Laplace de una función continua , es decir,, entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita es , es decir, .
Ejemplo:
Calcule:

Puesto que

Tenemos que

Existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que, siendo. Para nuestropropósito esto no es tan malo como parece, pues, si  y son continuas y de orden exponencial en  y, entonces; pero, si  y  son continuas y de orden exponencial en y , entonces se puede demostrar que las funciones  y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

Calcule:, donde  esta dada por

Usando la definición de transformada
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Pero, anteriormente hemos comprobado que

Con lo cual las funciones  y  tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de

No es única.
UNIDAD DE LA TRANSFORMADA INVERSA

* Funciones Nulas.
Si N(t) es una función de t tal que para todo t > 0 N(t) se llamará una función nula. En situaciones prácticas, las funciones nulas son funcionesconstantes.
Sin embargo es única cuando trabajamos con funciones no nulas. Podemos establecer entonces lo siguiente:

* Teorema de Lerch:
Si consideramos solamente las funciones f(t) que son continuas a trozos en cada intervalo y de orden exponencial para t > N, entonces la transformada inversa de Laplace de f(s), es decir , es única. Aceptaremos siempre esta unicidad a menos que seestablezca lo contrario.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA

* Propiedad de linealidad

De Tablas de la transformada inversa de Laplace:
Decimos entonces que la transformada inversa de Laplace es lineal o que tiene propiedad de linealidad.
* Ejemplo:
Determine: 
 

Solución
Usando la propiedad de linealidad tenemos: 
 
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos: 
 Haciendo álgebra: 
 
Por tanto: 

* Propiedad de la Derivación:

* Ejemplo:
Sabiendo que y(0)=3 y que y'(0)=-1, simplifique: 
 
Solución

Aplicando la propiedad de linealidad: 
 

Por el teorema de la transformada de la derivada: 
 
Y 
 

De donde: 
 
Agrupando términos 

Y por tanto: 

* Propiedad de la Integración:

* Ejemplo:
Determine: 
 

SoluciónPara aplicar el teorema reconocemos que: 
 
Es decir que: 
 
Aplicando el teorema de la transformada de la integral tenemos: 
 
Haciendo uso de la tabla de transformadas: 
 
Desarrollando la integral 
 
Así la integral queda: 
 
Por tanto 

* Propiedad de Dualidad:

* Propiedad del Desplazamiento de la frecuencia:

* Desplazamiento temporal:

Nota: u(t) es la funciónescalón unitario.

* Propiedades del Desplazamiento potencia n-ésima:

* Propiedades de Convolución:

* Propiedades de la Transformada de Laplace de una función con periodo p:

MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES PARA HALLAR TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE.

, la transformada de Laplace de , frecuentemente es de la forma



Donde son polinomios en , y el grado...